Вторая теорема Коши о промежуточном значении непрерывных функций

Теорема.
Если функция $f$ непрерывна на отрезке $ [a,b] $, $A=f(a) \neq f(b)=B$ и число $C$ заключено между числами $A$ и $B$, то существует такая точка $c \in [a,b]$, что $f(c)=C$.
Доказательство.
Не нарушая общности будем считать, что $ A = f(a) < f(b) = B $. Рассмотри функцию $h(x)=f(x)-C$, непрерывность на отрезке $ [a,b] $ которой следует из непрерывности функции $f$. Очевидно что $h(a)=A-C<0$ и $h(b)=B-C>0$. Применяем к $h$ первую теорему Коши и находим точку $c$ в которой $h(c)=f(c)-C=0$, то-есть $ f(c)=C $. Теорема доказана.
Геометрический смысл теоремы.
Как мы видим на рисунке изображен график функции $f(x)$(в общем произвольной), непрерывной на отрезке $[a,b]$, где $f(b) < f(a)$, $C$ произвольная точка на отрезке $[f(b),f(a)]$ и прямая $l$ задана формулой $l(x)=C$. Как мы видим, прямая $l$ обязана пересечь кривую $f(x)$ в какой-то точке $M$, лежащей на кривой $f(x)$, между точками $A(a,f(a))$ и $B(b,f(b))$. То-есть существует такое $c\in [a,b]$, что $f(c)=C$.

Замечание 1.
Первую и вторую теоремы Коши объединяют в одну, теорему Коши о промежуточном значении функции. В таком случае, теорема о нулях функции считается частным случаем. В то же время, как видно из доказательства вторая теорема Больцано-Коши является прямым следствием первой. Также теорему Коши о промежуточном значении функции называют теоремой Больцано-Коши о промежуточном значении функции.
Замечание 2.
Теорема Коши о промежуточном значении, применяется в доказательствах. Примеров на эту тему как таковых нету, но мы очень часто пользуемся этой теоремой, даже не замечая этого.
Пример.
Пусть функция $f(x)=x^{2}$ определенна и непрерывна на отрезке $[-2,2]$ .
Посчитаем значение функции в точках : $x=-0,75$, $x=0,25$, $x=1,5$.
Мы знаем что данная функция непрерывна на данном отрезке (в силу того что это полиномиальная функция), а значит, в силу второй теоремы Коши, она принимает все свои промежуточные значения и ее значения в указанных точках равны:
$f(-0,75)=0,5625$, $f(0,25)=0,0625$, $f(1,5)=2,25$.
Литература.

• Фихтенгольц Г.М. Курс дифференциального и интегрального исчисления, Том 1. (стр. 172)
• Кудрявцев Л.Д. Курс математического анализа — М.: Высш.школа, 1981, Том 1. (стр. 123-124).
• Вартанян Г.М. Конспект лекций по математическому анализу  Часть 1. (стр. 28-29).
• Коляда В.И., Кореновский А.А. Курс лекций по математическому анализу Часть 1. (стр. 83)
• Шилов Г. Е. Математический анализ. Функции одного переменного. В 3-х ч. Ч.1-2 -М.:Наука, 1969, Ч.3 -М.:Наука, 1970. (стр. 164)

Вторая теорема Коши

Лимит времени: 0

Навигация (только номера заданий)

0 из 5 заданий окончено

Вопросы:

1. 1
2. 2
3. 3
4. 4
5. 5

Информация

Тест на тему: «Вторая теорема Коши»

Вы уже проходили тест ранее. Вы не можете запустить его снова.

Тест загружается...

Вы должны войти или зарегистрироваться для того, чтобы начать тест.

Вы должны закончить следующие тесты, чтобы начать этот:

Результаты

Правильных ответов: 0 из 5

Ваше время:

Время вышло

Вы набрали 0 из 0 баллов (0)

Рубрики

1. Математический анализ 0%

Ваш результат был записан в таблицу лидеров

Загрузка

Имя: E-Mail:

Капча:

1. 1
2. 2
3. 3
4. 4
5. 5

1. С ответом
2. С отметкой о просмотре

1. Задание 1 из 5

   1.

   Указать значения функций на аргументе $x=1$:

   Элементы сортировки

   • -12
   • -1
   • 0
   • 1

   • $x^4+x^3-17x+3$

   • $\frac{1}{\cos{\pi x}}$

   • $\log_{10}{\frac{1}{x}}$

   • $\ln{e^{\frac{x^2+x-1}{x^2-x+1}}}$

   Правильно
   

   Неправильно
   
2. Задание 2 из 5

   2.

   Прямым следствием какой теоремы является вторая теорема Коши?

   • Теорема Вейерштраса.
   • Теорема Гейне.
   • Первая теорема Коши.
   • Не является прямым следствием из теорем.
   Правильно
   

   Неправильно
   
3. Задание 3 из 5

   3.

   Какие значения принимает функция $f(x)=5x^2-20x+7$ на отрезке $[2,4]$ (написать нижнюю и верхнюю границы через пробел)?
   Правильно
   

   Неправильно
   
4. Задание 4 из 5

   4.

   Для выполнения одного из условий теоремы, необходимо чтобы функция:

   • была непрерывна на отрезке $[a,b]$.
   • была непрерывна на интервале $(a,b)$.
   • имела конечное число разрывов на $[a,b]$.
   • имела только разрывы первого рода на $(a,b)$.
   • была равномерно непрерывной на $[a,b]$.
   Правильно
   

   Неправильно
   
5. Задание 5 из 5

   5.

   Построить правильную последовательность доказательства теоремы.

   • Вводим новую функцию.
   • Проверяем непрерывность функции и какие значения она принимает на концах отрезка.
   • Применяем к функции первую теорему Коши.
   • Находим точку в которой функция обращается в ноль.
   Правильно
   

   Неправильно