Открытые множества и их свойства

ОТКРЫТЫЕ МНОЖЕСТВА

Определение. Множество всех точек [latex]x[/latex]пространства [latex]mathbb{R}^n[/latex], таких, что [latex]| x- x_0| < rho, rho > 0[/latex], называется открытым шаром с центром в точке [latex]x_0[/latex] и радиусом [latex]rho[/latex]. Этот шар также называется [latex]rho[/latex]-окрестностью точки [latex]x_0[/latex] и обозначается [latex]B(x_0,rho)[/latex].

Определение. Зададим подмножество [latex]E[/latex] пространства [latex]mathbb{R}^n[/latex]. Точка [latex]x_0[/latex] множества [latex]E[/latex] называется внутренней точкой множества, если существует [latex]B(x_0,rho)[/latex], содержащийся в [latex]E[/latex]. Иными словами, [latex]x_0[/latex] является внутренней точкой множества [latex]E[/latex], если она входит в [latex]E[/latex] вместе с некоторой окрестностью.

Определение. Множество [latex]E subset mathbb{R}^n[/latex] называется открытым, если любая его точка будет внутренней в [latex]E[/latex]. Условимся также считать пустое множество [latex]varnothing[/latex] открытым.

СВОЙСТВА ОТКРЫТЫХ МНОЖЕСТВ

Обозначим через [latex]A[/latex] множество индексов, и каждому элементу [latex]alpha in A[/latex] поставим в соответствие множество [latex]E_{alpha}[/latex]. Тогда [latex]left{E_{alpha}right}_{alpha in A}[/latex] называется семейством множеств

Теорема. Открытые множества в пространстве [latex]mathbb{R}^n[/latex] обладают такими свойствами:

  1. Пустое множество [latex]varnothing[/latex] и всё пространство [latex]mathbb{R}^n[/latex] открыты;
  2. Пересечение всякого конечного числа открытых множеств также открыто;
  3. Объединение всякого семейства [latex]left{G_{alpha}right}_{alpha in A}[/latex] открытых множеств также открыто

Доказательство.

  1. Пустое множество [latex]varnothing[/latex] является открытым по определению, а пространство [latex]mathbb{R}^n[/latex], очевидно, открыто, так как всякий шар содержится в [latex]mathbb{R}^n[/latex].
  2. Пусть [latex]E_1,…,E_n[/latex] – открытые множества,[latex]E = bigcap_{i=1}^{n}[/latex]. Предположи, что [latex]x in E[/latex]. Тогда [latex]x in E_i[/latex] для любого [latex]i=1,…,n[/latex]. Но все множества [latex]E_i[/latex] являются открытыми, так что для любого [latex]i=1,…,n[/latex] найдется открытый шар [latex]B(x,rho_i) subset E_i[/latex]. Среди всех этих шаров выберем шар с наименьшим радиусом [latex]B(x,rho)[/latex], где [latex]r=min(rho_1,…,rho_n)[/latex]. Тогда [latex]E(x,rho) subset E_i[/latex] при каждом [latex]i=1,…,n[/latex], а значит, [latex]B(x,rho) subset E[/latex], и тем самым доказано, что множество [latex]E[/latex] открыто.
  3. Пусть [latex]E=bigcup_{alpha in A}E_{alpha}[/latex], где все множества [latex]E_{alpha}[/latex] открыты. Докажем, что множество [latex]E[/latex] также открыто. Предположим, что [latex]x in E[/latex]. Тогда [latex]x[/latex] принадлежит хотя бы одному из множеств [latex]E_{alpha_0}[/latex]. Так как это множество [latex]E_{alpha_0}[/latex] открыто, то найдется окрестность [latex]B(x,rho) subset E_{alpha_0} subset E[/latex]. Таким образом, [latex]E[/latex] – открытое множество.

[latex]square[/latex]

Замечание. Пересечение бесконечного семейства открытых множеств не обязательно будет открытым. К примеру, пусть [latex]B_k[/latex] – открытый шар с центром в нуле и радиусом [latex]frac{1}{k}(k=1,2,…)[/latex]. Тогда [latex]bigcap_{k=1}^{infty}B_k = left{0right}[/latex]. Но множество [latex]left{0right}[/latex], состоящее из одной точки, не является открытым, поскольку оно не содержит в себе ни одного шара.

Литература:

Открытые множества и их свойства

Тест по теме «Открытые множества и их свойства»


Таблица лучших: Открытые множества и их свойства

максимум из 20 баллов
Место Имя Записано Баллы Результат
Таблица загружается
Нет данных

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *