Определение интегральных сумм и их пределов


Для лучшего восприятия этого материала сперва следует прочесть Задачи, которые приводят к понятию определенного интеграла Римана


Определение 1. (Интегральная сумма)

Спойлер

Пусть функция f(x) определена на отрезке   [a,b]. Разделим отрезок  [a,b]  на n произвольных частей точками a=x_{0}<x_{1}<x_{2}<...<x_{n-1}<x_{n}=b, выберем на каждом элементарном отрезке [x_{k-1};x_{k}] произвольную точку \xi _{k} и найдём длину каждого такого отрезка: \triangle x_{k}=x_{k}-x_{k-1}.

[свернуть]

\triangle Интегральной суммой  для функции f(x) на отрезке [a,b] называется сумма вида

\underbrace{\sum_{k=1}^{n}f(\xi _{k})\triangle x_{k}},   причем эта сумма имеет конечный предел I если для каждого \varepsilon >0 найдется такое число \delta >0, что при (max\ \triangle x_{k})<\delta неравенство \underbrace{\left | \sum_{k=1}^{n}f(\xi _{k})\triangle x_{k}-I \right |<\varepsilon} выполняется при любом наборе числе \xi _{k}. \blacktriangle

Определение 2. (Верхние и нижние суммы)

Спойлер

Пусть функция f(x) ограничена на сегменте [a;b] и $T $ — разбиение этого  сегмента точками  a=x_{0}<x_{1}<x_{2}<...<x_{n-1}<x_{n}=b.  Обозначим через M_{i} и m_{i} соответственно точную верхнюю и точную нижнюю грани этой функции на сегменте [x_{i}-x_{i-1}].

[свернуть]

Суммы

S=M_{1}\triangle x_{1}+M_{2}\triangle x_{2}+...M_{n}\triangle x_{n}=\underbrace{\sum_{i=1}^{n}M_{i\triangle x_{i}}}

и

S=m_{1}\triangle x_{1}+m_{2}\triangle x_{2}+...m_{n}\triangle x_{n}=\underbrace{\sum_{i=1}^{n}m_{i\triangle x_{i}}}

называются соответственно верхней и нижней суммами функции f(x) для данного разбиения T сегмента [a;b].

 

Рисунок 1. Разбиение сегмента [a;b]

Спойлер

default2

[свернуть]

.Замечание. Суммы такого вида называют суммами Дарбу.

Список литературы:

Тест (Определенный интеграл Римана)

Тест по темам:

1. Определенный интеграл Римана.

2. Интегральные суммы.


Таблица лучших: Тест (Определенный интеграл Римана)

максимум из 14 баллов
Место Имя Записано Баллы Результат
Таблица загружается
Нет данных

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *