Универсальная подстановка

Универсальная тригонометрическая подстановка, в англоязычной литературе называемая в честь Карла Вейерштрасса подстановкой Вейерштрасса, применяется в интегрировании для нахождения первообразных, определённых и неопределённых интегралов от рациональных функций от тригонометрических функций. Без потери общности можно считать в данном случае такие функции рациональными функциями от синуса и косинуса. Подстановка использует тангенс половинного угла.

 

Интегралы вида \int R(\sin x, \cos x)dx   , где R-рациональная функция.

Спойлер

В результате подстановки   t=\tan \frac{x}{2}    в указанные интегралы получаем:

\sin x=\frac{2\tan \frac{x}{2}}{1+\tan ^{2}\frac{x}{2}}=\frac{2t}{1+t^{2}} ;       \cos x=\frac{1-\tan ^{2}\frac{x}{2}}{1+\tan ^{2}\frac{x}{2}}=\frac{1-t^{2}}{1+t^{2}} , где    dx=\frac{2dt}{1+t^{2}} .

[свернуть]

Если подынтегральное выражение содержит гиперболическую функцию, то такой интеграл можно свести к интегрированию рациональной функции с помощью подстановки 

Спойлер

t=e^{x} ;           x=\ln t ;           dx=\frac{dt} {t} .

[свернуть]

Рис 1. Подстановка Вейерштрасса показана здесь как стереографическая проекция окружности

Подстановка Вейерштрасса
Для усвоения материала на практике, переходим в раздел «Примеры интегрирования рациональных функций от \sin x, \cos x и \sinh x, \cosh x»

Список литературы:

  • А.Г. Попов, П.Е. Данко, Т.Я. Кожевникова «Мир и образование» 2005 г. (Издание 6-е. Часть 1)  стр. 234-242
  • Лысенко З.М. Конспект лекций по курсу математического анализа.

Дополнительные материалы :

 

 

Тест (Вычисление интегралов методом универсальной подстановки)

по темам «Интегрирование рациональных функций от sin x, cos x и sinh x, cosh x» и «Универсальная подстановка«


Таблица лучших: Тест (Вычисление интегралов методом универсальной подстановки)

максимум из 7 баллов
Место Имя Записано Баллы Результат
Таблица загружается
Нет данных

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *