Лемма Гейне-Бореля

Лемма (Гейне – Бореля). Произвольный сегмент в [latex]\mathbb{R}^n[/latex] является компактным множеством .

Доказательство. Обозначим через [latex]I = [a^1,b^1;…;a^n,b^n][/latex] – сегмент в [latex]\mathbb{R}^n[/latex]. Докажем от противного. Пусть данный сегмент не является компактным. Тогда найдется такое открытое покрытие [latex]\Omega[/latex] сегмента [latex]I[/latex], что никакое конечное подсемейство множеств из [latex]\Omega[/latex] не покрывает [latex]I[/latex]. Все стороны [latex][a^i,b^i][/latex] сегмента [latex]I[/latex] разделим пополам. Таким образом данный сегмент можно разбить на [latex]2^n[/latex] сегментов. По крайней мере один из них не покрывается конечным подсемейством множеств из [latex]\Omega[/latex]. В противном случае, исходный сегмент [latex]I[/latex] также мог бы быть покрытым конечным набором множеств из [latex]\Omega[/latex], что приводит к противоречию. Обозначим через [latex]I_1[/latex] тот из подсегментов [latex]I[/latex], который не может быть покрыт конечным набором множеств из [latex]\Omega[/latex]. Каждую из сторон сегмента [latex]I_1[/latex] опять разделим пополам и среди полученных [latex]2^n[/latex] сегментов, на которые окажется разбитым [latex]I_1[/latex], возьмем тот, который не покрывается конечным подсемейством множеств из [latex]\Omega[/latex]. Обозначим его через [latex]I_2[/latex] и так далее. Продолжая подобные действия, получим последовательность вложенных сегментов [latex]I \supset I_1 \supset I_2 \supset … \supset I_{\nu} \supset …[/latex], таких, что любой из сегментов [latex]I_{\nu}[/latex] не может быть покрыт каким-либо конечным подсемейством множеств из [latex]\Omega[/latex]. Заметим также, что [latex]diam \> I_{\nu} = \frac{diam \> I}{2^{\nu}} \mapsto 0 (\nu \mapsto \infty)[/latex]. Применив к полученной последовательности [latex]I_{\nu}[/latex] лемму о вложенных сегментах, найдем точку [latex]x_0 \in I_{\nu} (\nu = 1,2,…)[/latex]. Поскольку [latex]x_0 \in I[/latex], а [latex]I[/latex] покрыт семейством [latex]\Omega[/latex] открытых множеств, то найдется такое открытое множество [latex]F \in \Omega[/latex], что [latex]x_0 \in F[/latex]. Поскольку множество [latex]F[/latex] открытое и точка [latex]x_0 \in F[/latex], то эта точка внутренняя в [latex]F[/latex]. Это означает, что найдется такая окрестность [latex]B(x_0,\delta)[/latex] точки [latex]x_0[/latex], которая целиком содержится во множестве [latex]F[/latex]. Но поскольку диаметры сегментов [latex]I_{\nu}[/latex] стремятся к нулю при [latex]\nu \mapsto \infty[/latex], то, начиная с какого-то номера [latex]\nu_0[/latex], они будут меньшими, чем [latex]\delta[/latex], то есть. [latex]diam \> I_{\nu} < \delta (\nu \geq \nu_0)[/latex]. Учитывая, что [latex]x_0 \in I_{\nu}[/latex], получаем, что [latex]I_{\nu} \subset B(x_0,\delta)[/latex], а значит, [latex]I_{\nu} \subset F[/latex]. Итак, мы получили, что при [latex]\nu \geq \nu_0[/latex] сегмент [latex]I_{\nu}[/latex] содержится во множестве [latex]F[/latex]. Но это противоречит выбору сегментов [latex]I_{\nu}[/latex], поскольку они были выбраны так, что никакое конечное подсемейство множеств из [latex]\Omega[/latex] не покрывает [latex]I_{\nu}[/latex]. Полученное противоречие завершает доказательство. [latex]\square[/latex]

Литература:

Лемма Гейне-Бореля: 1 комментарий

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *