M1384. Невырожденность и выпуклость четырехугольников, связанных с центрами вписанного, описанного кругов и ортоцентром треугольника

Условие

ABC — неравнобедренный остроугольный треугольник; O и I — центры описанного и вписанного кругов, H — ортоцентр треугольника. Докажите, что четырехугольники AOIH, BOIH и COIH невырождены и среди них ровно два выпуклых.

Доказательство

Решению предпошлем легко доказываемое предположение:

В треугольнике биссектриса делит пополам угол между высотой и радиусом описанного круга, проведенным в ту же вершину.

Рис. 1 к задаче M1384

Докажем это предположение. Пусть [latex]BM[/latex] — биссектриса угла [latex]ABC[/latex] (рис. 1). Так как [latex]OB=OM[/latex], то [latex]\angle OBM=\angle OMB[/latex]. Так как точка [latex]M[/latex] — середина дуги [latex]AMC[/latex], то прямые [latex]OM[/latex] и [latex]BD[/latex] параллельны. Следовательно, [latex]\angle DMB=\angle BMO[/latex], отсюда [latex]\angle OBM=\angle DBM[/latex], что и требовалось доказать.

Решение задачи. Покажем вначале, что точки [latex]O[/latex] и [latex]H[/latex] не могут лежать на одной прямой с какой-либо из вершин треугольника (в частности, эти точки не могут совпадать). Действительно, в этом случае выходящие из вершины медиана и высота совпадают, и треугольник оказывается равнобедренным. Отсюда и из леммы уже следует, что [latex]AOIH[/latex], [latex]BOIH[/latex] и [latex]COIH[/latex] — невырожденные многоугольники (четырехугольники либо треугольники).

Рис. 2 к задаче M1384

Пусть прямая [latex]OH[/latex] пересекает стороны [latex]AB[/latex] и [latex]BC[/latex] треугольника, [latex]BC> AB[/latex]. Для завершения решения достаточно доказать, что точка [latex]I[/latex] лежит внутри той же полуплоскости с границей [latex]OH[/latex], что и точка [latex]B[/latex] (рис.2). Докажем это.

Обозначим [latex]BD=h_{s}[/latex]. Имеем: [latex]CD>AD[/latex]. Восстановим перпендикуляр к середине отрезка [latex]AC[/latex], получаем: точка [latex]O[/latex] принадлежит треугольнику [latex]BCD[/latex]. Обозначим через [latex]E(K)[/latex] точку пересечения прямой [latex]AI(CI)[/latex] с прямой [latex]OH[/latex]. Необходимо доказать, что точки на прямой расположены в следующем порядке: [latex]O,K,E,H[/latex], т.е что [latex]\frac{OK}{KH}< \frac{OE}{EH}.[/latex] Но биссектриса угла треугольника делит противоположную сторону на части, пропорциональные прилежащим сторонам. Отсюда и из леммы получаем: [latex]\frac{OK}{KH}=\frac{CO}{CH}, \frac{OE}{EH}=\frac{AO}{AH}.[/latex] Доказываемое утверждение можно теперь переписать так: [latex]\frac{AH}{AO}< \frac{CH}{CO}[/latex] или [latex]CH>AH.[/latex] Но поскольку [latex]CD>AD[/latex], то [latex]CH>AH[/latex]. Отсюда и следует утверждение задачи.

Замечания:

  • Нетрудно показать, что прямая [latex]OH[/latex] пересекает большую и меньшую стороны треугольника [latex]ABC[/latex]. Значит, выпуклыми являются четырехугольники, соответствующие большему и меньшему его углам.
  • Задача допускает также и алгебраическое решение.

В.Сендеров

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *