M2098

Задача М2098

Двое играют в игру, делая ходы по очереди: первый рисует на плоскости многоугольник, не налегающий на уже нарисованные, а второй ответным ходом раскрашивает его в один из 2008 цветов. Второй игрок хочет, чтобы любые два многоугольника, граничащие по отрезку сторны, имели разные цвета. Сможет ли первый игрок помешать ему?

Ответ: сможет

Решение

М2098Докажем индукцией по [latex]n[/latex], что первый может играть так, что нарисованные им многоугольники будут давать в объединении некоторый многоугольник [latex]P_{n}[/latex], на границу которого выходят многоугольники не менее [latex]n[/latex] цветов. Отсюда будет следовать, что никакого конечного числа цветов недостаточно.

База индукции очевидна. Пусть утверждение верно для [latex]n=k[/latex], докажем его для [latex]n=k+1[/latex]. Из предположения индукции следует, что первый игрок может играть так, чтобы нарисованные многоугольники давали в объединении [latex]k[/latex] многоугольников [latex]P_{k}^{(1)},P_{k}^{(2)},’cdots,P_{k}^{(k)}[/latex], на границу каждого из которых выходят многоугольники не менее [latex]k[/latex] цветов. На границе многоугольника [latex]P_{k}^{(1)}[/latex] выделим отрезок [latex]Delta_{1}[/latex] некоторго цвета 1, на границе многоугольника [latex]P_{k}^{(2)}[/latex] выделим отрезок [latex]Delta_{2}[/latex] некоторго цвета 2, отличного от 1, и т.д., на границе многоугольника [latex]P_{k}^{(k)}[/latex] выделим отрезок [latex]Delta_{k}[/latex] некоторго цвета k, отличного от уже определенных цветов [latex]1,2,cdots,k-1[/latex]. Пусть теперь первый нарисует многоугольник [latex]P[/latex], пересекающийся с многоугольником [latex]P_{k}^{(i)}[/latex] по части отрезка [latex]Delta_{i}[/latex] для всех [latex]i=1,2,cdots,k[/latex] (рис.). Второй игрок должен раскрасить многоугольник [latex]P[/latex] в цвет, отличный от цветов [latex]1,2,cdots,k[/latex]. Тогда на границу многоугольника, являющего объединением многоугольников [latex]P,P_{k}^{(1)},P_{k}^{(2)},cdots,P_{k}^{(k)}[/latex], выходят не менее [latex]k+1[/latex] цветов. Переход индукции доказан.

Замечания

Строгое доказательство существования многоугольника [latex]P[/latex] из решения задачи далеко не просто (хотя интуитивно все очевидно), оно следует из известной топологической теоремы Жордана.

Отметим, что вопрос, поставленный в задаче, уже рассматривался в «Задачнике «Кванта»» для случая, когда первому игроку позволяется рисовать многоугольники лишь специального вида. Результат этой задачи интресно сопоставить также со знаменитой теоремой о четырех красках, согласно которой для раскрашивания правильным образом любой карты на плоскости достаточно лишь четырех цветов.

Е.Гик, П.Кожевников

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *