Неравенство Коши — Буняковского

Неравенство, связывающее норму и скалярное произведение векторов векторного пространства. Эквивалентно неравенству треугольника для нормы в пространстве со скалярным произведением: [latex] (\sum_{i=1}^{n}a_{i}b_{i})^2 \leq \sum_{i=1}^{n}a_{i}^2 \sum_{i=1}^{n}b_{i}^2[/latex]. Справедливое для любых вещественных чисел [latex] a_{1} , b_{1} … a_{n} , b_{n} [/latex]

Доказательство:

Рассмотрим квадратный трехчлен:[latex] p(\xi)=\sum_{i=1}^{n}(a_{i}+ \xi b_{i})^2 =A + 2B\xi +C\xi^{2} [/latex] , где [latex] A=\sum_{i=1}^{n}a_{i}^2 [/latex] ,  [latex] B=\sum_{i=1}^{n}a_{i}b_{i} [/latex] ,  [latex] C=\sum_{i=1}^{n}b_{i}^2 [/latex]. Так как квадратный трехчлен [latex] P(\xi) [/latex] принимает только неотрицательные значения, то его дискриминант неположителен, а именно,  [latex] B^2-AC\leq 0 [/latex] . Подставляя в неравенство значения коэффициентов [latex] A [/latex], [latex] B [/latex] и [latex] C [/latex], получаем неравенство Коши-Буняковского.

Доказательство «неравенства треугольника» :

Докажем неравенство Минковского[latex] \sqrt{\sum_{i=1}^{n}(a_{i}+b_{i})^2} \leq \sqrt{\sum_{i=1}^{n}a_{i}^2} +\sqrt{\sum_{i=1}^{n}b_{i}^2}[/latex].

Используя неравенство Коши, получаем: [latex] \sum_{i=1}^{n}(a_{i}+b_{i})^2 = \sum_{i=1}^{n}a_{i}^2 +2\sum_{i=1}^{n}a_{i}b_{i}+\sum_{i=1}^{n}b_{i}^2 \leq[/latex] [latex] \sum_{i=1}^{n}a_{i}^2 +2\sqrt{\sum_{i=1}^{n}a_{i}^{2}} \sqrt{\sum_{i=1}^{n}b_{i}^{2}}+\sum_{i=1}^{n}b_{i}^2= [/latex] [latex] (\sqrt{\sum_{i=1}^{n}a_{i}^{2}} +\sqrt{\sum_{i=1}^{n}b_{i}^{2}})^2 [/latex]

Извлекая из обеих частей этого неравенства квадратные корни, получаем неравенство Минковского. Полагая в неравенстве Минковского [latex] a_{i}=x_{i}-z_{i} , b_{i}= z_{i}-y_{i} [/latex] , получаем неравенство [latex] \sqrt{\sum_{i=1}^{n}(x_{i}-y_{i})^2} \leq \sqrt{\sum_{i=1}^{n}(x_{i}-z_{i})^2} +\sqrt{\sum_{i=1}^{n}(z_{i}-y_{i})^2}[/latex] т. е. неравенство треугольника для расстояния $latex p(x,y) $.

Литература:

Неравенство Коши — Буняковского: 1 комментарий

  1. Даже не знаю… Снова переписывать одни и те же замечания?
    1. Рудин — нет страниц
    2. Литература — нет выходных данных книг
    3. Нет ссылок на термины внутри сайта. Если Вы говорите о неравенствах Минковского, Коши и др., то дайте ссылки.
    4. Неуместно используете скобки и 1/2 вместо знака радикала
    5. Пробелы перед точкой или запятой приводят к образованию строк, начинающихся с точки или запятой.
    6. Принудительный разрыв строки в середине предложения.
    7. Нет примеров.

Добавить комментарий для Igor Mazurok Отменить ответ

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *