Определение площади поверхности вращения

Рассмотрим поверхность [latex]M[/latex], образованную вращением вокруг оси [latex]Ox[/latex], заданной на сегменте [latex][a,b] [/latex] функции [latex]y=f(x)[/latex]. Определим понятие квадрируемости поверхности вращения [latex]M[/latex]. Пусть [latex]T[/latex] — разбиение сегмента [latex][a,b] [/latex] точками [latex]a=x_{0}<x_{1}<…[/latex][latex]<x_{n}=b [/latex], и пусть [latex]A_{0}[/latex],…,[latex]A_{n}[/latex] — соответствующие точки функции [latex]y=f(x)[/latex]. Построим ломанную [latex]A_{0}A_{1}…A_{n}[/latex]. При вращении этой ломанной вокруг оси мы получим поверхность [latex] M(A_{i})[/latex], составленную из боковых поверхностей усеченных конусов. Обозначим через [latex] P(x_{i})[/latex] площадь поверхности [latex] M(A_{i})[/latex]. Если [latex] y_{i}[/latex] — ординаты [latex]f(x)[/latex] в точках [latex] x_{i}[/latex], а [latex] l_{i}[/latex] — длина звена [latex] A_{i-1}A_{i}[/latex] ломанной [latex]A_{0}A_{1}…A_{n}[/latex], то
[latex] P(x_{i})=2\pi\sum\limits_{i=1}^{n}\frac{y_{i-1}+y_{i}}{2}l_{i}=[/latex][latex]\pi\sum\limits_{i=1}^{n}(y_{i-1}+y_{i})l_{i}[/latex]
Сформулируем следующее определения.

  • Число [latex]P[/latex] называется пределом площадей [latex]P(x_{i})[/latex], если [latex]\forall[/latex] [latex]\epsilon>0[/latex] [latex]\exists[/latex] [latex]\triangle>0 [/latex], что [latex]\forall[/latex] разбиения [latex]T[/latex] сегмента [latex][a,b] [/latex], максимальная длина [latex]D[/latex] частичных сегментов которого меньше [latex]\triangle[/latex] выполняется неравенство [latex]|P(x_{i})-P|<\epsilon[/latex].
  • Поверхность вращения [latex]M[/latex] называется квадрируемой, если [latex]\exists [/latex] предел [latex]P[/latex] площадей [latex]P(x_{i}) [/latex]. При этом число [latex]P[/latex] называется площадью поверхности [latex]M[/latex].
  • Литература

  • В. А. Ильин, Э. Г. Позняк. Основы математического анализа. Часть 1. 1982 год. Параграф 3, пункт 4. стр 378-379.
  • Вартанян Г. М. Конспект по математическому анализу.
  • Фихтенгольц Г. М. Курс дифференциального и интегрального исчисления. Часть 2, 1964 год, Параграф 2, стр. 214-217.
  • Площадь поверхности вращения

    Поверхность вращения

    Таблица лучших: Площадь поверхности вращения

    максимум из 2 баллов
    Место Имя Записано Баллы Результат
    Таблица загружается
    Нет данных

    Добавить комментарий

    Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *