Кольцо. Простейшие следствия из аксиом

Кольцо

Пусть $R$- произвольное множество, $R\ne0$,  $»+»$,  $»\cdot»$- бинарные алгебраические операции  на $R$.
$(R,+,\cdot)$ называется кольцом, если выполнено:

  1. $(R,+)$- абелева группа (аддитивная группа кольца);
  2. Для любых $(R,+,\cdot) \in R$ выполняется:
    1. $a(b + c) = ab + ac$;
    2. $(b + c)a = ba + ca$.

Если операция $»\cdot»$ коммутативна, то кольцо называется коммутативным. В противном случае- некоммутативным.
Операции умножения и сложения в любом кольце обладают некоторыми свойствами.
Операция сложения:
$\forall a,b,c \in R$

  1. Коммутативна: $a + b = b + a$;
  2. Ассоциативна: $a + (b + c) = (a + b) + c$.

Операция умножения:
$\forall a,b,c \in R$

  1. Коммутативна: $ab = ba$;
  2. Ассоциативна: $a(bc) = (ab)c$.

Операции сложения и умножения связаны законом диструбтивности:
$(a + b)c = ac + ab$.

Примеры:

  1. $(Z,+,\cdot)$- кольцо целых чисел;
  2. $(Q,+,\cdot)$- кольцо рациональных чисел;
  3. $(R,+,\cdot)$- кольцо вещественных чисел;
  4. $(Q[\sqrt{2}],+,\cdot), Q[\sqrt{2}] = \{a+b\sqrt{2 } |a,b \in Q\}$.

Проверим, будет ли на множестве $(Q[\sqrt{2}],+,\cdot)$ кольцо.
$(a + b\sqrt{2}) = (c + d\sqrt{2}) = (a + c) + (b + d)\sqrt{2}\in Q [ \sqrt{2}]$
Значит $(Q[\sqrt{2}], +, \cdot)$ является кольцом.

Простейшие следствия из аксиом

  1. $\forall a \in R $ $ a \cdot 0 = 0 \cdot a = 0,$ $a\cdot0 = a(0 + 0) =$ $ a\cdot0 + a\cdot0 |-(a\cdot0) =$ $ a\cdot0 + ( — a\cdot0) =$ $ (a\cdot0 + a\cdot0) + (-a\cdot0) =a\cdot0 + 0 =$ $ a\cdot0 = 0$
  2. $\forall a,b \in R (-a)b = -ab$ $(-a)b + ab = ((-a) + a)b = 0 \cdot b = 0$
  3. $d(a — b) = da — db$ $d(a — b) = d(a + (-b)) = da + d(-b) = da + (-d)b = da — db$
  4. $(a — b)d = ad — bd$ $(a — b)c = (a + (-b))c = ac + (-b)c = ac + (-(bc)) = ac — bc$
  5. Если имеет единичный элемент 1, то $\forall a \in R$ $a \cdot 1 = 1 \cdot a = a$.

Кольцо. Простейшие следствия из аксиом

Этот тест составлен для проверки знаний по теме: «Кольцо. Простейшие следствия из аксиом».

Литература:

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *