Разбиение на попарно непересекающиеся классы
Пусть $latex A \not = \varnothing $, разбиением множества $latex A $ называется не пустое множество подмножеств $latex A_j \in A, j \in J $, такое, что выполняется два условия:
1. $latex \bigcup{} A_j= A, j \in J $.
2. $latex A_i \cap A_j= \varnothing $, для $latex i \not = j $.
Разбиение множества $latex S $ на классы $latex S_1, S_2, …,S_6 $.
Примеры
Приведем несколько примеров разбиения:
1. Множество четырехугольников $latex A $ разбито на два класса:
трапеции и прямоугольники. Данные подмножества попарно не пересекаются, а их объединения совпадают с множеством $latex A $.
2. Множество четырехугольников $latex B $ разбито на три класса:
квадраты, параллелограммы, прямоугольники. Так как прямоугольник и квадрат — частные случаи параллелограмма, то данные подмножества пересекаются, значит, не выполнено первое условие классификации, и разбиение множества $latex B $ не получено.
3. Дано множество прямых $latex C $ в пространстве, которое разбито на классы по их взаимному расположению: параллельные, пересекающиеся, скрещивающиеся. Данные подмножества попарно не пересекаются, а их объединения совпадают с множеством $latex C $.
4. Дано множество $latex N $, которое можно разделить на два класса: $latex N_1 $ и $latex N_2 $, где $latex N_1 $ — множество натуральных четных чисел, а $latex N_2 $ — множество натуральных нечетных чисел.
5. Множество $latex X $ разбито на три класса: $latex X_1 $, $latex X_2 $ и $latex X_3 $. $latex X_1 $ множество чисел, которые делятся на $latex 2 $, $latex X_2 $ — множество чисел, которые делятся на $latex 3 $, $latex X_3 $ множество чисел, которые делятся на $latex 5 $. Но существуют числа, которые могут делится одновременно и на $latex 2 $, $latex 3 $ и $latex 5 $. Отсюда следует, что подмножества пересекаются, и разбиение не получено.
Литература:
- Белозеров Г.С. Конспект лекций по алгебре и геометрии
- Кострикин А.И. Введение в алгебру. М.: Наука, 1977, (Стр. 48-49)
- Воеводин В.В. Линейная алгебра. М.: Наука, 1994 (Стр. 15-16)
- Лавров И.А., Максимова Л.Л. Задачи по теории множеств, математической логике и теории алгоритмов. М.: Физматлит, 1995
Вопросы по изложенной темеРазбиение на попарно непересекающиеся классы