Группы. Примеры групп. Простейшие следствия из аксиом.

Определение

Пусть $G\ne \varnothing$, $»*»$ — БАО на $G.$ Тогда $(G, *)$ называется группой, если выполняются следующие три аксиомы.

  • 1. Ассоциативность. $\forall a, b, c\in G~$ $~ (a*b)*c=$$a*(b*c).$
  • 2. Нейтральный элемент. $\exists e\in G ,\forall a\in G~a*e=$$e*a=a.$
  • 3. Симметрический элемент. $\forall a\in G,\exists a^{‘}\in G$$ a*a^{‘}=a^{‘}*a=e.$

Если, кроме этих трех условий выполняется условие коммутативности $\forall a, b \in G~a*b=b*a,$ то такая группа называется абелевой.

Примеры

  • 1.) $(\mathbb Z, +), (\mathbb Q^{*}, +),(\mathbb R, +)$ — аддитивные группы (по сложению всякое кольцо является абелевой группой).
  • 2.) $(\mathbb Q^{*}, \cdot), (\mathbb R^{+}, \cdot),(\mathbb R^{*}, \cdot)$ — мультипликативные группы(совокупность отличных от нуля элементов любого поля является абелевой группой).
  • 3.) $ (\mathbb C_{[-1;1]}, +) $ — множество непрерывных вещественных функций определенных на $[-1;1].$
  • 4.) $(\mathbb R^{2}, +), (a, b)+(c, d)=$$(a+c, b+d).$
  • 5.) $G_{2n},$ где $n$ — простое. Возможно по крайней мере 2 группы: Циклическая группа $ C_{2n}$ и диэдр $D_{n}$
  • grafik1grafik1

Простейшие следствия из аксиом

  • 1. Нейтральный элемент — единственный.

Доказательство. Предположим противное. Пусть $\exists e^{‘},$ так как $e^{‘}$ — нейтральный элемент, то $e^{‘}e=e^{‘}$, но $e$ тоже нейтральный элемент, а значит $e^{‘}e=e \Longrightarrow e=e^{‘}. $

  • 2. $\forall a\in G~ \exists! a^{‘},a^{‘}a=e$

Доказательство. Предположим противное. Пусть $\exists a^{»},a^{»}a=aa^{»}=e,$$ a^{‘}a=aa^{‘}=e,$$ a^{‘}aa^{»}=(a^{‘}a)a^{»}=ea^{»}=a^{»},$ $a^{‘}(aa^{»})=a^{‘}e=a^{‘} \Longrightarrow $$a^{‘}=a^{»} $

  • 3. $a*x=b,(x*b=a)$, решение единственно.

Доказательство.

Единственность.

$x_{0}$ — решение. $ax_{0}=b, a^{‘}(ax_{0})=a^{‘}b,$$ (a^{‘}a)x_{0}=a^{‘}b$, $ex_{0}=a^{‘}b, x_{0}=a^{‘}b$

Существование.

$x_{0}=a^{‘}b, a(a^{‘}b)=$$(aa^{‘})b=eb=b$

  • 4. $(a^{‘})^{‘}=a, \forall a\in G$

Доказательство. По третьей аксиоме $a^{‘}(a^{‘})^{‘}=e, a^{‘}a=e \Longrightarrow$
$a^{‘}(a^{‘})^{‘}=a^{‘}a\Longrightarrow (a^{‘})^{‘}=a$.

  • 5. $(ab)^{‘}=b^{‘}a^{‘}$

Доказательство.
$(ab)(ab)^{‘}=e, aa^{‘}=e$, $bb^{‘}=e \Longrightarrow (aa^{‘})(bb^{‘})=$$(bb^{‘})(aa^{‘})=ee \Longrightarrow $$ (bb^{‘})(aa^{‘})=e \Longrightarrow$ $(ab)(ab)^{‘}=(bb^{‘})(aa^{‘}) \Longrightarrow$ $(ab)(ab)^{‘}=(ab)b^{‘}a^{‘} \Longrightarrow$$ (ab)^{‘}=b^{‘}a^{‘}$

  • 6. $\forall n\in \mathbb N$$ a^{n}=\underset{n}{\underbrace{aa..a}}$

Доказательство.

База индукции.

$a^{1}=a$.

Предположение индукции.

Пусть $n=k, a^{k}=\underset{k}{\underbrace{aa..a}}.$

Шаг индукции.

Пусть $n=k+1, a^{k}a^{1}=a(aa..a),$ $a^{k+1}=\underset{k+1}{\underbrace{aa..a}}$.

  • 7. $\forall n, m\in \mathbb N, a^{n}a^{m}=a^{n+m}$

Доказательство.

$a^{m}=\underset{m}{\underbrace{aa..a}}, a^{n}=\underset{n}{\underbrace{aa..a}}$

$a^{n}a^{m}=\underset{n}{\underbrace{aa..a}} \cdot \underset{m}{\underbrace{aa..a}} \Longrightarrow$ $a^{n}a^{m}=\underset{n+m}{\underbrace{aa..a}}$, $\underset{n+m}{\underbrace{aa..a}}=a^{n+m} \Longrightarrow$ $a^{n+m}=a^{n}a^{m}$

 

  • 8. $\forall n, m\in \mathbb N, (a^{n})^{m}=a^{nm}$

 

Доказательство.

$(a^{n})^{m}=\underset{n}{\underbrace{(aa..a)^{m}}} \Longrightarrow$ $(a^{n})^{m}=\underset{n\cdot m}{\underbrace{(aa..a)}} \Longrightarrow$ $(a^{n})^{m}=\underset{n}{\underbrace{(aa..a)}}\cdot \underset{m}{\underbrace{(aa..a)}} $

$\underset{n}{\underbrace{(aa..a)}}=a^{n}$, $\underset{m}{\underbrace{(aa..a)}}=a^{m} \Longrightarrow$ $(a^{n})^{m}=a^{n}a^{m}$

 

  • 9. $\forall n\in \mathbb N, (a^{n})^{‘}=(a^{‘})^{n}$

 

Доказательство.

$a^{n}(a^{n})^{‘}=e, (a^{‘})^{n}=$$\underset{n}{\underbrace{(a^{‘}a^{‘}..a^{‘})}},$

$\underset{n}{\underbrace{(aa..a)}} \cdot \underset{n}{\underbrace{(a^{‘}a^{‘}..a^{‘})}}=e \Longrightarrow$ $a^{n}(a^{‘})^{n}=e \Longrightarrow$ $a^{n}(a^{‘})^{n}=a^{n}(a^{n})^{‘} \Longrightarrow$ $(a^{‘})^{n}=(a^{n})^{‘}.$
Литература

 

 

Тесты

Группы. Примеры групп. Простейшие следствия из аксиом.

Группы. Примеры групп. Простейшие следствия из аксиом.


Таблица лучших: Группы. Примеры групп. Простейшие следствия из аксиом.

максимум из 2 баллов
Место Имя Записано Баллы Результат
Таблица загружается
Нет данных

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *