Виды отображений. Распознавание свойств отображений. Композиция отображений. Обратимость. Примеры

Материал лекций по теме «Отображения, типы отображений, тождественное отображение»

Задача №1

Рассмотрим пример, в котором заданное соответствие не является отображением.

Условие задачи:

Задано f(u) =\left | \frac{ u(u+1)(u+2)}{3} \right|, U=\mathbb Z, V=\mathbb N. Определить, будет ли f: U \rightarrow V отображением.

Спойлер

Данное соответствие будет отображением, если \forall u \in U существует образ. Казалось бы, каким бы ни было u, произведение трех последовательных чисел всегда будет делиться на 3. Однако, при:

\begin{matrix} u_1 = 0 & f(u_1) = 0 \\ u_2 = -1 & f(u_2) = 0 \\ u_3 = -2 & f(u_3) = 0 \end{matrix}

\Rightarrow Не все прообразы имеют образы, т.к. 0 \notin \mathbb N

\Rightarrow Данное соответствие не является отображением.

[свернуть]

Рассмотрим задачи, в которых определим вид отображения и исследуем его на обратимость.

Задача №2

Условие задачи:

Заданы U = \mathbb Z, V = \mathbb N, f(u) = u^2+2, f(u): U \rightarrow V. Определить вид этого отображения и исследовать на обратимость.

Спойлер

Проверим, будет ли это отображение инъективным. Отображение инъективно, если для \forall v \in V существует не более одного прообраза:

\begin{matrix} u_1 = -1 & f(u_1) = 3 \\ u_2 = 1 & f(u_2) = 3 \end{matrix}

\Rightarrow Один из образов имеет более одного прообраза. Отображение не инъективно.

Проверим, будет ли отображение сюръективно. Отображение сюръективно, если каждый элемент множества V является образом.

5 \in V, но \nexists u \in U такого, что f(u) = 5. Т.е. один из элементов множества V не является образом.

\Rightarrow Отображение не сюръективно.

Таким образом получили, что данное отображение не инъективно и не сюръективно.

Теперь исследуем отображение на обратимость. Для этого воспользуемся критерием обратимости, согласно которому отображение обратимо \Leftrightarrow когда оно биективно. Поскольку отображение не иъективно и не сюръективно, оно биективным не является, а, следовательно, не обратимо.

[свернуть]

Задача №3

Условие задачи:

Заданы U=\left[ -\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}\right], V=\left[ -1; 1\right], f: U \rightarrow V, f(u) = \sin{u}. Определить вид отображения и исследовать на обратимость.

Спойлер

Определим вид отображения. Это отображение является инъективным, поскольку \forall v \in V имеет не более одного прообраза. Это отображение также является сюръективным, поскольку \forall v \in V является образом.

\Rightarrow Отображение биективно.

Исследуем отображение на обратимость. Для этого, воспользуемся критерием обратимости. Поскольку отображение биективно, то, согласно критерию, оно обратимо. Действительно, для данного отображения существует обратное: f^{-1}=\arcsin{u}.

[свернуть]

Задача №4

Условие задачи: Заданы f: \mathbb Q \rightarrow \mathbb Q, g: \mathbb Q \rightarrow \mathbb Q, f(u)=2u, g(u)=\frac{u}{2}. Определить, обладает ли композиция этих отображений свойством коммутативности.

Спойлер

Проверим значение (g \circ f)(u):

(g \circ f)(u)=g(f(u))=g(2u)=u

Проверим значение (f \circ g)(u):

(f \circ g)(u)=f(g(u))=f(\frac{u}{2})=u

Получили, что f \circ g = g \circ f. Следовательно, композиция этих отображений обладает свойством коммутативности.

[свернуть]

Литература

  • Белозеров Г.С. Конспект лекций по линейной алгебре
  • Кострикин А.И. Введение в алгебру. Часть 1, ФИЗМАТЛИТ, 2001г., стр. 35-38

Виды отображений. Обратимость

Тест

Таблица лучших: Виды отображений. Обратимость

максимум из 8 баллов
Место Имя Записано Баллы Результат
Таблица загружается
Нет данных

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *