Извлечение корней. Первообразные корни из единицы



Допустим число $\alpha$  задано в тригонометрической форме,то при целом положительном $n$ из формулы $\alpha = r\left ( \cos\varphi + i \sin\varphi \right )$ следует формула
$\left [ r\left ( \cos\varphi + i\sin n\varphi \right ) \right ]^n = r^n\left ( \cos n\varphi + i \sin n\varphi \right ) $, то есть при возведении комплексного числа в степень модуль тоже возводится в эту степень , а аргумент умножается на показатель степени.

Намного больше трудностей представляет собой извлечение корня из комплексного числа. Начнём с извлечения квадратного корня из числа $\alpha = a + bi$. Можем записать, что $\sqrt{a + bi} = u + vi$. Из этих двух равенств мы получаем:

$ u^2 = \frac{1}{2}\left ( a + \sqrt{a^2 +b^2} \right )$, $v^2 = \frac{1}{2}\left ( -a + \sqrt{a^2 +b^2} \right )$.

Пример

Спойлер

Пусть $\alpha = 7 — 24i $. Тогда $\sqrt{a^2 + b^2}=\sqrt{49+576}=25$. Поэтому $u^2 = \frac{1}{2}(7+25)=16$,  $v^2 = \frac{1}{2}(-7+25)=9$, откуда  $u =\pm 4$,  $v = \pm 2 $. Знаки $u$ и $v$  должны быть различными ввиду отрицательности $b$, поэтому $\sqrt{7 — 24i}=\pm(4-3i)$.

[свернуть]

Попытки извлечения из комплексных чисел, заданных в виде $a+bi$ ,корней более высокой степени, чем вторая, более трудоёмкие.

Теперь нужно извлечь корень $n$ -й степени из числа $\alpha = r (\cos\varphi + i\sin\varphi )$. Предположим, что это можно сделать. А в результате получим число $p(\cos\sigma + i\sin\sigma)$, то есть
$ \left [ p\left ( \cos\sigma + i \sin\sigma \right ) \right ]^n = r(\cos\varphi + i\sin\varphi) .$
Используя формулу Муавра, $p =\sqrt[n]{r}$ и $\sigma = \frac{\varphi + 2k \pi }{n} $.

$\sqrt[n]{r(\cos\varphi + i\sin\varphi )} = \sqrt[n]{r}(\cos\frac{\varphi + 2k\pi }{n} + i \sin\frac{\varphi + 2k\pi }{n}).$

Извлечение корня $n$ степени из комплексного числа $\alpha$ всегда возможно и дает $n$ различных значений. Все значения корня $n$ степени разложены на окружности радиуса $\sqrt[n]{\left | \alpha \right |}$ с центром в нуле и деля эту окружность на $n$ равных частей.

Пример

Спойлер

Дано комплексное число $\beta = -\frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} i $,

найти кубический корень из этого числа.

Надо найти корни уравнения $z = \sqrt[3]{-\frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2}i}$.

Так как $n$ равно трём, то у нас будет 3 корня :
$z_{0}, z_{1}, z_{2}$.
$z_{k} = \sqrt[3]{\left |\beta \right |}
\left (\cos\frac{\varphi +2\pi k}{3} + \sin\frac{\varphi +2\pi k}{3} \right ), k = {0,1,2};$
Найдём модуль и аргумент комплексного числа $\beta = -\frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} i $
$\left | \beta \right | = \sqrt{\left ( -\frac{\sqrt{3}}{2} \right )^2 +\left (\frac{\sqrt{3}}{2} \right )^2} = \sqrt{\frac{3}{4} + \frac{3}{4}} = \sqrt{\frac{3}{2}}$.
$ \sin\varphi > 0, \cos\varphi < 0 $ $ \Rightarrow $ число $\beta$ находится во 2 четверти.Поэтому,
$\varphi = \pi + \mathop{\rm arctg}\frac{\frac{\sqrt{3}}{2}}{-\frac{\sqrt{3}}{2}} = \pi + \mathop{\rm arctg}(-1) = \pi — \mathop{\rm arctg}(1) = \pi — \frac{\pi }{4} = \frac{3\pi }{4}$.
$ z_{k}= \sqrt[3]{\sqrt{\frac{3}{2}}} \left(\cos\left ( \frac{\frac{3\pi }{4} + 2 \pi k}{3} \right ) + i\sin \left ( \frac{\frac{3\pi }{4} + 2 \pi k}{3} \right ) \right) , k = {0,1,2}$.
Найдём первый корень при $k$= 0,
$z_{0}= \sqrt[6]{\frac{3}{2}}\left(\cos\left ( \frac{\frac{3\pi }{4} + 2\pi\cdot0 }{3} \right ) + i\sin \left ( \frac{\frac{3\pi }{4} + 2\pi\cdot0}{3} \right ) \right) =\sqrt[6]{\frac{3}{2}} \left ( \cos\frac{\pi }{4} + i\sin\frac{\pi }{4}) \right)$;

При $k$= 1,
$z_{1}=\sqrt[6]{\frac{3}{2}}\left(\cos\left ( \frac{\frac{3\pi }{4} + 2\pi\cdot1 }{3} \right ) + i\sin \left ( \frac{\frac{3\pi }{4} + 2\pi\cdot1}{3} \right ) \right) =\sqrt[6]{\frac{3}{2}} \left ( \cos\frac{11\pi }{12} + i\sin\frac{11\pi }{12}) \right)$;

При $k$= 2,
$z_{2}=\sqrt[6]{\frac{3}{2}}\left(\cos\left ( \frac{\frac{3\pi }{4} +2\pi\cdot2 }{3} \right )+ i\sin \left ( \frac{\frac{3\pi }{4} + 2\pi\cdot2}{3} \right ) \right)=\sqrt[6]{\frac{3}{2}} \left ( \cos\frac{19\pi }{12} + i\sin\frac{19\pi }{12}) \right )$.

[свернуть]

Изобразим наше решение примера графически:

Спойлер

[свернуть]

Корни из единицы
Важен случай извлечения корня $n$-й степени из числа 1. Все корни $n$-й степени даются формулой:

$\sqrt[n]{1} = \cos\frac{2k\pi }{n}+ i\sin\frac{2k\pi }{n}; k = 0,1…,n-1.$

Умножением одного из значений корня на все корни $n$-й степени из единицы можно получить все значения корня $n$-й степени из комплексного числа $\alpha$.
Корень $n$-й степени из единицы $ \varepsilon $ будет первообразным $\Leftrightarrow$ если его степени $\varepsilon^{k}, k = 0,1,…,n-1,$ различны ,то есть если ими исчерпываются все корни $n$-й степени из единицы.
Если $ \varepsilon $ есть первообразный корень $n$-й степени из единицы, то число $\varepsilon^{k}$ будет первообразным корнем $n$-й степени $\Leftrightarrow$, когда ${k}$ взаимно просто с ${n}$. Числа называются взаимно простыми если они не имеют никаких общих делителей кроме 1 и -1.
Пример

Спойлер

Найти первообразные корни :

$\sqrt[4]{1} = \cos\frac{2\pi k}{4} + i\sin\frac{2\pi k}{4}, k = 0, 1, 2, 3;$

$\varepsilon _{0} = \cos0 + i\sin0 = 1;$

$\varepsilon _{1} = \cos\frac{\pi }{2} + i\sin\frac{\pi }{2} = i;$

$\varepsilon _{2} = \cos\pi + i\sin\pi = -1;$

$\varepsilon _{3} = \cos\frac{3\pi }{2} + i\sin\frac{3\pi }{2}= -i.$
Пары   (1, 4)   и  (4, 3)  взаимно простые. С этого следует, что $\varepsilon _{1} $ и  $\varepsilon _{3}$  —  первообразные корни 4-той степени из единицы.

[свернуть]

Литература

извлечение корней

извлечение корней


Таблица лучших: извлечение корней

максимум из 22 баллов
Место Имя Записано Баллы Результат
Таблица загружается
Нет данных

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *