Подгруппы. Критерий подгруппы

Определение

Подмножество H группы G называется подгруппой этой группы (обозначают H \le G), если оно само является группой относительно сужения операции, определенной в группе G.

Теорема (Критерий подгруппы)

Непустое подмножество H группы G будет подгруппой тогда и только тогда, когда h_{1}h_{2}\in H и h_{1}^{-1}\in H для всех h_{1},h_{2} \in H

Обозначается

<G, \ast>группа.

H \subseteq G

H \le G \Leftrightarrow (\forall h_{1}, h_{2}\in H)[h_{1}\ast h_{2}^{-1}\in H]

Спойлер

Пусть H — подгруппа группы G, т. е. Hгруппа  относительно сужения операции, определенной в группе G. Определена алгебраическая операция в H, поэтому h_{1}h_{2}\in H для всех h_{1},h_{2}\in H.

Проверим что единица e_{1} подгруппы H совпадает с единицей e группы G. Ясно, что e_{1}e= ee_{1}= e_{1}, т. к. e_{1} — элемент из G.  В группе G для e_{1} имеется обратный элемент e_{1}^{-1}, то есть e_{1}^{-1}e_{1}= e_{1}e_{1}^{-1}= e. Так как e_{1} — единица в H, то e_{1}e_{1}=e . Умножив обе части последнего равенства  на e_{1}^{-1}, получим: e_{1}^{-1}e_{1}e_{1}= e_{1}^{-1}e_{1} или ee_{1}=e, поэтому e_{1}=e. Таким образом, единицы подгруппы H и группы G совпадают.

Так как H подгруппа, то для каждого h\in H существует в подгруппе H обратный элемент h^{-1}, то есть такой элемент, что h^{-1}h= hh^{-1}= e_{1}= e. Это означает, что h^{-1} является обратным элементом в группе G для элемента h\in H.

Обратно, пусть h_{1}h_{2} и h_{1}^{-1}\in H для всех h_{1}, h_{2}\in H. Тогда алгебраическая операция определенна на H. Она ассоциативна в H, так как ассоциативность справедлива для всех элементов из G. Элемент h^{-1} обратный h \in H также принадлежит H, поэтому h^{-1}h \in H и hh^{-1}. Поскольку h^{-1}h= e= hh^{-1}, то e \in H и H — группа.

[свернуть]

 

Спойлер

<\mathbb{Z}, +>группа,

3\mathbb{Z} \subseteq \mathbb{Z},

Z

3\mathbb{Z} \overset{?}{\le} \mathbb{Z},

 a,b \in 3\mathbb{Z} \Rightarrow a=3m_{1} \wedge b=3m_{2},

-b=-(3m_{2}),

a+(-b)= 3m_{1}+(-3m_{2})= 3m_{1}-3m_{2}=  3(m_{1}-m_{2})= 3m_{3}\in 3\mathbb{Z},

3\mathbb{Z} \le \mathbb{Z}

[свернуть]

Тест

Подгруппы. Критерий подгруппы.

Таблица лучших: Подгруппа

максимум из 10 баллов
Место Имя Записано Баллы Результат
Таблица загружается
Нет данных

Источник

Г. С. Белозеров. Конспект лекций по линейной алгебре.

В. С. Монахов. Учебное пособие «Введение в теорию конечных групп и их классов». Гомель 2003 (стр. 20-21)

А. Г. Курош. Курс высшей алгебры. Издание десятое. Стереотипное. Москва «Наука» 1971. (стр. 398-399)

И. В. Проскуряков.  Сборник задач по линейной алгебре. Издание шестое. Стереотипное. Москва «Наука», 1984. (стр. 218-220)

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *