Вычисление площадей и объемов

Задача 1

Пирамида $ ABCD$ задана координатами своих вершин: $ A(4,-1,~0)$, $ B(2,~3,~4)$, $latex C(-1,~4,~1)$, $D(4,-3,~5) $. Найти:

  • объем пирамиды;
  • площадь грани $latex ABC $.


Спойлер

Найдем координаты векторов:

$latex \overline{AB}=(x_B-x_A,~y_B-y_A,~z_B-z_A)$ $latex = $ $latex (2-4,~3-(-1),~4-0)$ $latex = $ $latex (-2, ~4, ~4) $.
$latex \overline{AC}=(x_C-x_A,~y_C-y_A,~z_C-z_A)$ $latex = $ $latex (-1-4,~4-(-1),~1-0)$ $latex = $ $latex (-5,-3, ~1) $.
$latex \overline{AD}=(x_D-x_A,~y_D-y_A,~z_D-z_A)$ $latex = $ $latex (4-4,-3-(-1),~5-0)$ $latex = $ $latex (0,-2, ~5) $.

Вычислим смешанное произведение:

$latex (\overline{AB},~\overline{AC},~\overline{AD}) $ $latex = $ $latex \begin{vmatrix} -2 & 4 & 4 \\ -5 & -3 & 1 \\ 0 & -2 & 5 \end{vmatrix}$ $latex = $ $latex -2 \begin{vmatrix} -3 & 1 \\ -2 & 5 \end{vmatrix} + 5 \begin{vmatrix} 4 & 4 \\ -2 & 5 \end{vmatrix} $ $latex = $ $latex -2(-15+2)+5(20+8)$ = $latex 166 $.

Найдем объем пирамиды по формуле:

$latex V_{ABCD}$ $latex = $ $latex \frac{1}{6} |(\overline{AB},Ё\overline{AC}, \overline{AD})| $ $latex = $ $latex \frac{1}{6} \cdot 166 $ $latex = $ $latex \frac{166}{6} \approx 27,7 $ (куб.ед.).

Найдем векторное произведение:

$latex [\overline{AB},\overline{AC}] $ = $latex \begin{vmatrix} \overline{i} & \overline{j} & \overline{k} \\ -2 & 4 & 4 \\ -5 & -3 & 1 \end{vmatrix} $ $latex = $ $latex \overline{i} \begin{vmatrix} 4 & 4 \\ -3 & 1 \end{vmatrix} -\overline{j} \begin{vmatrix} -2 & 4 \\ -5 & 1 \end{vmatrix} + \overline{k} \begin{vmatrix} -2 & 4 \\ -5 & -3 \end{vmatrix} $ $latex = $ $latex \overline{i}(4+12) — \overline{j}(-2+20) + \overline{k}(6+20) $ $latex = $ $latex 16 \overline{i} — 18 \overline{j} + 26\overline{k} $ = $latex (16,-18,~26) $.

Найдем площадь плоскости $latex \mathbf{(ABC)} $:

$latex S_{(ABC)} = \frac{1}{2} |[\overline{AB},~\overline{AC}]| $ $latex = $ $latex \frac{1}{2} \sqrt{x^2+y^2+z^2} $ $latex = $ $latex \frac{1}{2} \sqrt{16^2+(-18)^2+26^2} $ $latex = $ $latex \frac{1}{2} \sqrt{1256} $ $latex \approx $ $latex \frac{1}{2} \cdot 35,4 $ $latex = $ $latex 17,7 $.

Ответ: $latex \mathbf{27,7} $ куб.ед., $latex \mathbf{17,7} $.

[свернуть]

Задача 2

 

Найти объем пирамиды, у которой три грани принадлежат плоскостям $latex XOY,~XOZ,~YOZ $, четвертая проходит через плоскость $latex P=4x+6y+3z-12=0 $, и имеет вершину в точке $latex O(0,~0,~0) $.

Спойлер

Найдем точки пересечения плоскости $latex \mathbf{P} $ с осями координат.

Это точки $latex A(3,~0,~0)$, $latex B(0,~2,~0) $ и $latex C(0,~0,~4) $.

Найдем векторы $latex \mathbf{\overline{AB}} $ и $latex \mathbf{\overline{AC}} $.

$latex \overline{AB} = (-3,~2,~0) $;
$latex \overline{AC} = (-3,~0,~4) $.

Найдем площадь основания:

$latex S_{(ABC)}=\frac{1}{2} |[\overline{AB},\overline{AC}]| $ $latex = $ $latex \frac{1}{2} \sqrt{\begin{vmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 4 \end{vmatrix}^2 + \begin{vmatrix} 0 & -3 \\ 4 & -3 \end{vmatrix}^2 + \begin{vmatrix} -3 & 2 \\ 3 & 0 \end{vmatrix}^2} $ $latex = $ $latex \frac{1}{2} \sqrt{8^2+12^2+6^2} $ $latex = $ $latex \frac{1}{2} \sqrt{16+144+36} $ $latex = $ $latex \sqrt{61} $.

Найдем расстояние от точки $latex \mathbf{O} $ до плоскости $latex \mathbf{P} $:

$latex \rho(O,~P) = \frac{|Ax_O+By_O+Cy_O+D|}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}} $ $latex = $ $latex \frac{12}{\sqrt{16+36+9}} $ $latex = $ $latex \frac{12}{\sqrt{61}} $.

Расстояние от точки $latex O $ до плоскости $latex P $ является высотой $latex h $ пирамиды, опущенной из ее вершины на основание.

Найдем объем пирамиды:

$latex V=\frac{1}{3} S \cdot h $ $latex = $ $latex \frac{1}{3} \cdot \sqrt{61} \cdot \frac{12}{\sqrt{61}} $ $latex = $ $latex 4 $.

Ответ: $latex \mathbf{4} $.

[свернуть]

Список использованной литературы:

О.Н.Цубербиллер «Задачи и упражнения по аналитической геометрии», Санкт-Петербург, 2003г., изд-во «Лань», стр.214

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *