Большой вклад в развитие алгебры внес Джероламо Кардано, итальянский математик, который стал первым в Европе использовать отрицательные корни уравнений. В 1545 году Кардано опубликовал трактат, в котором описал алгоритм нахождения таких корней.
Наследователем Кардано стал еще один итальянский математик и инженер-механик Рафаэль Бомбелли, который, вдохновившись научной работы Кардано, окончательно ввел комплексные числа в математику и описал в своей научной работе «Алгебра» (1572) основные действия над такими числами.
В 1637 году вышла переломная в истории математики и науки книга «Рассуждение о методе, позволяющем направлять свой разум и отыскивать истину в науках» французского математика и философа Рене Декарта. В этой работе Декарт и ввел название «мнимые числа», а спустя 140 лет (1777 год) Леонард Эйлер — российский, немецкий и швейцарский математики механик — ввел букву «$latex i$» (первая буква французского слова «imaginaire» — «мнимый») для обозначения таких чисел.
Множеством комплексных чисел называется множество $latex \mathbb{R}^2$ при условии выполнения следующих требований:
- $latex (a,b)=(c,d) $ $latex \Leftrightarrow $ $latex a=c $ и $latex b=d $;
- $latex (a,b)+(c,d)=(a+c,b+d) $;
- $latex (a,b)(c,d)=(ac-bd,ad+bc) $.
Для построения поля комплексных чисел — расширения множества вещественных, в котором уравнение разрешимо, — необходимо доказать следующее:
- $latex \mathbb{C} $ — поле;
- $latex \mathbb{R} \subset \mathbb{C} $;
- $latex x^2+1=0 $ — разрешимо в $latex \mathbb{C} $ (1);
- $latex \mathbb{C} $ минимально по включениям.
$latex \mathbf{I.} $ $latex \mathbf{(\mathbb{C},+)} $ — абелева группа.
- Алгебраичность сложения;
- Ассоциативность:
$latex [(a,b)+(c,d)]+(e,f) $ $latex = $ $latex (a+c,b+d)+(e,f) $ $latex = $ $latex ((a+c)+e,(b+d)+f) $ $latex = $ $latex (a+(c+e),b+(d+f)) $ $latex = $ $latex (a,b)+(c+e,d+f) $ $latex = $ $latex (a,b)+[(c,d)+(e,f)] $;
- Коммутативность:
$latex (a,b)+(c,d)=(c,d)+(a,b) $;
- Нейтральный элемент:
$latex (0,0)+(a,b)=(a,b) $;
- Обратный элемент:
$latex \forall(a,b)~\epsilon~\mathbb{C} $ $latex \exists(-a,-b)~\epsilon~\mathbb{C} $
$latex (a,b)+(-a,-b)=(0,0) $;
$latex \mathbf{II.} $ $latex \mathbf{(\mathbb{C}^{*},\cdot)} $ — абелева группа.
- Алгебраичность умножения;
- Ассоциативность умножения;
- Коммутативность умножения;
- Единица: $latex e=(1,0) $
$latex \exists(x,y)~\epsilon~\mathbb{C} $, $latex \forall(a,b)~\epsilon~\mathbb{C} $
$latex (a,b)(x,y)=(a,b) $ $latex \Rightarrow (ax-by,ay+bx)=(a,b) $
$latex \begin{cases} ax-by=a & \\ ay+bx = b & \end{cases} $
Рассмотрим возможные решения системы:
1) $latex a\neq0,~b\neq0 $
$latex \begin{cases} a^2x-bay=a^2 & \\ b^2x+bay=b^2 & \end{cases} $
$latex (a^2+b^2)x=a^2+b^2 $ $latex \Rightarrow x=1,~y=0 $.
2) $latex a\neq0,~b=0 $
$latex \begin{cases} ax=1 & \\ ay=0 & \end{cases} $
$latex x=1,~y=0 $.
3) $latex a=0,~b\neq0 $ $latex \Rightarrow x=1,~y=0 $.
Следовательно, $latex e=(1,0) $.
- Обратный элемент:
$latex \forall a,b~\epsilon~\mathbb{C}^{*} $ $latex \exists(x,y)~\epsilon~\mathbb{C}^{*} $:
$latex (a,b)(x,y)=(1,0) $
$latex (ax-by,bx+ay)=(1,0) $
$latex \begin{cases} ax-by=1 & \\ ay+bx = 0 & \end{cases} $
Домножим первое уравнение системы на $latex a $, а второе — на $latex b $, $latex a\neq0,~b\neq0 $.
$latex \begin{cases} a^2x-bay=a & \\ b^2x+bay = 0 & \end{cases} $
$latex (a^2+b^2)x = a $ $latex \Rightarrow x=\frac{a}{a^2+b^2} $.
$latex \frac{a^2}{a^2+b^2}-by=1 $ $latex \Rightarrow \frac{a^2}{a^2+b^2}-1=by $ $latex \Rightarrow \frac{a^2-a^2-b^2}{a^2+b^2}=by $ $latex \Rightarrow y=\frac{-b}{a^2+b^2} $.
$latex (a,b)^{-1}=(\frac{a}{a^2+b^2},\frac{-b}{a^2+b^2}) $.
$latex \mathbf{III.} $ Дистрибутивность.
Проверим выполнение законов дистрибутивности. В самом деле,
$latex (a,b)[(c,d)+(e,f)] $ $latex = $ $latex (a,b)(c,d)+(a,b)(e,f)$.
$latex \blacksquare $
Покажем, что множество комплексных чисел является расширением множества вещественных.
$latex M \subset \mathbb{C} $, $latex M=\left\{(a,b)~\epsilon~\mathbb{C}~|~b=0 \right\} $ $latex = $ $latex \left\{(a,0)~|~a~\epsilon~\mathbb{R} \right\} $.
Рассмотрим точки, лежащие на оси абсцисс (точки вида $latex (a,0) $), где $latex x $ является реальной частью комплексного числа, и их свойства:
- $latex (a,0)+(b,0) = (a+b,0) $ $latex \epsilon~M $;
- $latex (a,0)(b,0) = (ab-00,00+0b) = (ab,0) $ $latex \epsilon~M $;
- $latex (0,0)~\epsilon~M $, $latex (1,0)~\epsilon~M $;
- $latex -(a,0) = (-a,0)~\epsilon~M $;
- $latex (a,0)^{-1},~a\neq0 $, $latex (a,0)^{-1} = (\frac{1}{a},0)~\epsilon~M $.
Таким образом, $latex f:\mathbb{R}~\rightarrow~ M $
$latex f(a)=(a,0)~\forall a~\epsilon~\mathbb{R} $.
- $latex f $ — биекция;
- $latex f(a,b)=(a+b,0)=(a,0)+(b,0)=f(a)+f(b) $;
- $latex f(ab)=f(a)\cdot f(b) $;$latex f(-a)=-(a,0) $;
$latex f(a^{-1})=(f(a))^{-1} $.
$latex a \to (a,0)$. Поле вещественных чисел вкладывается во множество комплексных.
$latex \blacksquare $
$latex x^2+1=0 $. Обозначим $latex 0 = (0,0) $, $latex 1 = (1,0) $ и $latex x = (u,v)$ $latex \Rightarrow $
$latex (u,v)^2+(1,0)=(1,0) $
$latex (u^2-v^2,2uv)=(0,0) $
Решим систему уравнений на основе этого выражения:
$latex \begin{cases} u^2-v^2=-1 & \\ 2uv=0 & \end{cases} $
$latex v\neq0,~u=0 $,
$latex v^2=1 \Rightarrow v=\pm (-1)$,
Следовательно, возможные решения уравнения — $latex (0,1),~(0,-1) $.
$latex i=(0,1),~-i=(0,-1) $ — мнимая единица $latex i $.
$latex \blacksquare $
Любое подмножество $latex \mathbb{C’} $ множества $latex \mathbb{C} $ совпадает с $latex \mathbb{C} $, если для $latex \mathbb{C’} $ выполнимо:
- $latex \mathbb{R}\subset\mathbb{C’} $;
- разрешимо уравнение $latex x^2+1=0 $;
- $latex \forall a,b~\epsilon~\mathbb{C’} $, $latex (a+b)~\epsilon~\mathbb{C’} $;
- $latex a \cdot b~\epsilon~\mathbb{C’} $.
$latex \blacksquare $
Список источников:
- А.Г.Курош «Курс высшей алгебры», изд-е.9, «Наука», г.Москва, 1968г., стр.110-113
- Г.С.Белозеров, конспект лекций курса алгебры и геометрии
Тест на знание теории о построении поля комплексных чисел.