Построение поля комплексных чисел

Спойлер

Большой вклад в развитие алгебры внес Джероламо Кардано, итальянский математик, который стал первым в Европе использовать отрицательные корни уравнений. В 1545 году Кардано опубликовал трактат, в котором описал алгоритм нахождения таких корней.

Наследователем Кардано стал еще один итальянский математик и инженер-механик Рафаэль Бомбелли, который, вдохновившись научной работы Кардано, окончательно ввел комплексные числа в математику и описал в своей научной работе «Алгебра» (1572) основные действия над такими числами.

В 1637 году вышла переломная в истории математики и науки книга «Рассуждение о методе, позволяющем направлять свой разум и отыскивать истину в науках» французского математика и философа Рене Декарта. В этой работе Декарт и ввел название «мнимые числа», а спустя 140 лет (1777 год) Леонард Эйлер — российский, немецкий и швейцарский математики механик — ввел букву «$latex i$» (первая буква французского слова «imaginaire» — «мнимый») для обозначения таких чисел.

[свернуть]

Спойлер

Множеством комплексных чисел называется множество $latex \mathbb{R}^2$ при условии выполнения следующих требований:

  1. $latex (a,b)=(c,d) $ $latex \Leftrightarrow $ $latex a=c $ и $latex b=d $;
  2. $latex (a,b)+(c,d)=(a+c,b+d) $;
  3. $latex (a,b)(c,d)=(ac-bd,ad+bc) $.

[свернуть]
Расширение числовых множества Необходимость в комплексных числах появилась, когда стало понятно, что не каждый многочлен имеет вещественные корни. Например, уравнение $latex x^2+1=0 $ не имеет корней среди вещественных чисел, так как еще в школе учили, что извлечь квадратный корень из отрицательного числа невозможно.

Для построения поля комплексных чисел — расширения множества вещественных, в котором уравнение разрешимо, — необходимо доказать следующее:

  1. $latex \mathbb{C} $ — поле;
  2. $latex \mathbb{R} \subset \mathbb{C} $;
  3. $latex x^2+1=0 $ — разрешимо в $latex \mathbb{C} $ (1);
  4. $latex \mathbb{C} $ минимально по включениям.
Спойлер

$latex \mathbf{I.} $ $latex \mathbf{(\mathbb{C},+)} $ — абелева группа.

  • Алгебраичность сложения;
  • Ассоциативность:

    $latex [(a,b)+(c,d)]+(e,f) $ $latex = $ $latex (a+c,b+d)+(e,f) $ $latex = $ $latex ((a+c)+e,(b+d)+f) $ $latex = $ $latex (a+(c+e),b+(d+f)) $ $latex = $ $latex (a,b)+(c+e,d+f) $ $latex = $ $latex (a,b)+[(c,d)+(e,f)] $;

  • Коммутативность:

$latex (a,b)+(c,d)=(c,d)+(a,b) $;

  • Нейтральный элемент:

$latex (0,0)+(a,b)=(a,b) $;

  • Обратный элемент:

$latex \forall(a,b)~\epsilon~\mathbb{C} $  $latex \exists(-a,-b)~\epsilon~\mathbb{C} $

$latex (a,b)+(-a,-b)=(0,0) $;

$latex \mathbf{II.} $ $latex \mathbf{(\mathbb{C}^{*},\cdot)} $ — абелева группа.

  • Алгебраичность умножения;
  • Ассоциативность умножения;
  • Коммутативность умножения;
  • Единица:  $latex e=(1,0) $

$latex \exists(x,y)~\epsilon~\mathbb{C} $, $latex \forall(a,b)~\epsilon~\mathbb{C} $

$latex (a,b)(x,y)=(a,b) $ $latex \Rightarrow (ax-by,ay+bx)=(a,b) $

$latex \begin{cases} ax-by=a & \\ ay+bx = b & \end{cases} $

Рассмотрим возможные решения системы:

1) $latex a\neq0,~b\neq0 $

$latex \begin{cases} a^2x-bay=a^2 & \\ b^2x+bay=b^2 & \end{cases} $

$latex (a^2+b^2)x=a^2+b^2 $ $latex \Rightarrow x=1,~y=0 $.

2) $latex a\neq0,~b=0 $

$latex \begin{cases} ax=1 & \\ ay=0 & \end{cases} $

$latex x=1,~y=0 $.

3) $latex a=0,~b\neq0 $ $latex \Rightarrow x=1,~y=0 $.

Следовательно, $latex e=(1,0) $.

  • Обратный элемент:

$latex \forall a,b~\epsilon~\mathbb{C}^{*} $ $latex \exists(x,y)~\epsilon~\mathbb{C}^{*} $:

$latex (a,b)(x,y)=(1,0) $

$latex (ax-by,bx+ay)=(1,0) $

$latex \begin{cases} ax-by=1 & \\ ay+bx = 0 & \end{cases} $

Домножим первое уравнение системы на $latex a $, а второе — на $latex b $, $latex a\neq0,~b\neq0 $.

$latex \begin{cases} a^2x-bay=a & \\ b^2x+bay = 0 & \end{cases} $
$latex (a^2+b^2)x = a $ $latex \Rightarrow x=\frac{a}{a^2+b^2} $.

$latex \frac{a^2}{a^2+b^2}-by=1 $ $latex \Rightarrow \frac{a^2}{a^2+b^2}-1=by $ $latex \Rightarrow \frac{a^2-a^2-b^2}{a^2+b^2}=by $ $latex \Rightarrow y=\frac{-b}{a^2+b^2} $.

$latex (a,b)^{-1}=(\frac{a}{a^2+b^2},\frac{-b}{a^2+b^2}) $.

$latex \mathbf{III.} $ Дистрибутивность.

Проверим выполнение законов дистрибутивности. В самом деле,
$latex (a,b)[(c,d)+(e,f)] $ $latex = $ $latex (a,b)(c,d)+(a,b)(e,f)$.

$latex \blacksquare $

[свернуть]

Спойлер

Покажем, что множество комплексных чисел является расширением множества вещественных.

$latex M \subset \mathbb{C} $, $latex M=\left\{(a,b)~\epsilon~\mathbb{C}~|~b=0 \right\} $ $latex = $ $latex \left\{(a,0)~|~a~\epsilon~\mathbb{R} \right\} $.

Рассмотрим точки, лежащие на оси абсцисс (точки вида $latex (a,0) $), где $latex x $ является  реальной частью комплексного числа, и их свойства:

  • $latex (a,0)+(b,0) = (a+b,0) $ $latex \epsilon~M $;
  • $latex (a,0)(b,0) = (ab-00,00+0b) = (ab,0) $ $latex \epsilon~M $;
  • $latex (0,0)~\epsilon~M $, $latex (1,0)~\epsilon~M $;
  • $latex -(a,0) = (-a,0)~\epsilon~M $;
  • $latex (a,0)^{-1},~a\neq0 $, $latex (a,0)^{-1} = (\frac{1}{a},0)~\epsilon~M $.

Таким образом, $latex f:\mathbb{R}~\rightarrow~ M $

$latex f(a)=(a,0)~\forall a~\epsilon~\mathbb{R} $.

  • $latex f $ — биекция;
  • $latex f(a,b)=(a+b,0)=(a,0)+(b,0)=f(a)+f(b) $;
  • $latex f(ab)=f(a)\cdot f(b) $;$latex f(-a)=-(a,0) $;
    $latex f(a^{-1})=(f(a))^{-1} $.

$latex a \to (a,0)$. Поле вещественных чисел вкладывается во множество комплексных.

$latex \blacksquare $

[свернуть]

Спойлер

$latex x^2+1=0 $. Обозначим $latex 0 = (0,0) $, $latex 1 = (1,0) $ и $latex x = (u,v)$ $latex \Rightarrow $

$latex (u,v)^2+(1,0)=(1,0) $

$latex (u^2-v^2,2uv)=(0,0) $

Решим систему уравнений на основе этого выражения:

$latex \begin{cases} u^2-v^2=-1 & \\ 2uv=0 & \end{cases} $

$latex v\neq0,~u=0 $,

$latex v^2=1 \Rightarrow v=\pm (-1)$,

Следовательно, возможные решения уравнения — $latex (0,1),~(0,-1) $.

$latex i=(0,1),~-i=(0,-1) $ — мнимая единица $latex i $.

$latex \blacksquare $

[свернуть]

Спойлер

Любое подмножество $latex \mathbb{C’} $ множества $latex \mathbb{C} $ совпадает с $latex \mathbb{C} $, если для $latex \mathbb{C’} $ выполнимо:

    • $latex \mathbb{R}\subset\mathbb{C’} $;
    • разрешимо уравнение $latex x^2+1=0 $;
    • $latex \forall a,b~\epsilon~\mathbb{C’} $, $latex (a+b)~\epsilon~\mathbb{C’} $;
    • $latex a \cdot b~\epsilon~\mathbb{C’} $.

$latex \blacksquare $

[свернуть]

Список источников:

Тест на знание теории о построении поля комплексных чисел.

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *