Определение и примеры линейных операторов. Действия над линейными операторами


На странице «Определение и примеры линейных операторов. Действия над линейными операторами.Теория» Вы можете ознакомиться с теоретическим материалом.

Упражнение 1

Проверка операторов на линейность

Проверить, является ли оператор A линейным в R^3
Ax=\left(x_{2}+ x_{3}, 5x_{2}-x_{1}, x_{1}+8x_{3}\right)

Решение:

Спойлер

Проверим оператор на линейность:
Если выполняются условия:
\forall a,b\in \mathbb{R}^{3}, \forall \alpha\in \mathbb{R}

  1. A\left(a+b\right)=Aa+Bb
    Проверим условие 1:
    A\left(a+b\right)=A\left(a_1+b_1,a_2+b_2,a_3+b_3\right)=\left(a_2+b_2+a_3+b_3,5a_2+5_b2-a_1-b_1,a_1+b_1+8a_3+8b_3\right)=\left(a_2+a_3,5a_2-a_1,a_1+8a_3\right)+\left(b_2+b_3,5_b2-b_1,b_1+8b_3\right)=A\left(a_1,a_2,a_3\right)+A\left(b_1,b_2,b_3\right)=Aa+Bb
  2. A\left(\lambda a\right)=\lambda Aa
    Проверим условие 2:
    A\left(\lambda a\right)=A\left(\lambda a_{1},\lambda a_{2},\lambda a_{3}\right)=\left(\lambda a_{2}+\lambda a_{3},5\lambda a_{2}-\lambda a_{1},\lambda a_{1}+8\lambda a_{3}\right)=\lambda\left(a_{2}+a_{3},5a_{2}-a_{1},a_{1}+8a_{3}\right)=\lambda Aa

Так как оба условия выполняются, то оператор линейный.

[свернуть]

Упражнение 2

Найти значение выражения

4A+7B.
A,B — линейные операторы из \Omega\left(\mathbb{R}^3\right), A\left(x_1,x_2,x_3\right)=\left(x_1-x_2+x_3,x_2,x_3-x_1\right), B\left(x_1,x_2,x_3\right)=\left(0,x_2,1\right)

Решение:

Спойлер

4A\left(x_1,x_2,x_3\right)=\left(4x_1-4x_2+4x_3,4x_2,4x_3-4x_1\right)
7B\left(x_1,x_2,x_3\right)=\left(0,7x_2,7\right)
4A+7B=\left(4x_1-4x_2+4x_3,11x_2,4x_3-4x_1+7\right)

Ответ:

4A+7B=\left(4x_1-4x_2+4x_3,11x_2,4x_3-4x_1+7\right)

[свернуть]

Упражнение 3

Найти значение выражения

B\cdot 4A.
A,B — линейные операторы из \Omega\left(\mathbb{R}^3\right), A\left(x_1,x_2,x_3\right)=\left(0,x_2+\frac{1}{4}x_3,x_3\right), B\left(x_1,x_2,x_3\right)=\left(x_1+x_3,x_2,1\right)

Решение:

Спойлер

4A\left(x_1,x_2,x_3\right)=\left(0,4x_2+x_3,4x_3\right)
B\cdot 4A\left(x_1,x_2,x_3\right)=\left(4x_3,4x_2+x_3,1\right)

Ответ:

B\cdot 4A\left(x_1,x_2,x_3\right)=\left(4x_3,4x_2+x_3,1\right)

[свернуть]

Упражнение 4

Найти значение выражения

Ax-3Bx.
A,B — линейные операторы из \Omega\left(M_2\left(\mathbb{R}\right)\right), A=\begin{Vmatrix}2& 2\\ 0 & 0\end{Vmatrix},
B=\begin{Vmatrix}1 & 1 \\ 2 & 0\end{Vmatrix}

Решение:

Спойлер

Ax=\begin{Vmatrix}2& 2\\ 0 & 0\end{Vmatrix}\cdot\begin{Vmatrix}x_1& x_2\\ x_3 & x_4\end{Vmatrix}=\begin{Vmatrix}2x_1+2x_3& 2x_2+2x_4\\ 0 & 0\end{Vmatrix}
3Bx=\begin{Vmatrix}3& 3\\ 6 & 0\end{Vmatrix}\cdot\begin{Vmatrix}x_1& x_2\\ x_3 & x_4\end{Vmatrix}= \begin{Vmatrix}3x_1+3x_3& 3x_2+3x_4\\ 6x_1 & 6x_2\end{Vmatrix}
Ax-3Bx=\begin{Vmatrix}2x_1+2x_3& 2x_2+2x_4\\ 0 & 0\end{Vmatrix}-\begin{Vmatrix}3x_1+3x_3& 3x_2+3x_4\\ 6x_1 & 6x_2\end{Vmatrix}= \begin{Vmatrix}-x_1-x_3& -x_2-x_4\\ -6x_1 & -6x_2\end{Vmatrix}

Ответ:

Ax-3Bx=-\begin{Vmatrix}x_1+x_3& x_2+x_4\\ 6x_1 & 6x_2\end{Vmatrix}

[свернуть]

Определение и примеры линейных операторов

Выполните тест и проверьте хорошо ли Вы усвоили материал.


Таблица лучших: Определение и примеры линейных операторов

максимум из 3 баллов
Место Имя Записано Баллы Результат
Таблица загружается
Нет данных

 Список использованной литературы :

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *