Делители нуля

Делители нуля

Пусть $latex R$ — кольцо, $latex a, b\in R, a,b\ne 0, a\cdot b = 0$. Числа $latex a,b$  называются делителями нуля кольца $latex R$, причем $latex a$ — левый делитель нуля, $latex b$ — правый делитель нуля.

Пример 1:

$latex (C_{[-1;1]},+,\cdot)$ — кольцо непрерывных функций на промежутке $latex [-1,1]$.

$latex f(x)=\begin{cases} x, 0\le x\le 1;\\ 0, -1\le x\le 0.\end{cases}$

$latex g(x)=\begin{cases} -x, -1\le x\le 0;\\ 0, 0\le x\le 1.\end{cases}$

$latex f(x)\cdot g(x)=0$

Пример 2:

Пусть дано $latex P=(M_{2}(R),+,\cdot)$

$latex \begin{pmatrix} 1&1\\ 2&2\end{pmatrix} $$latex \begin{pmatrix} -1&1\\ 1&-1\end{pmatrix} $=$latex \begin{pmatrix} 1&1\\ 2&2\end{pmatrix} $$latex \begin{pmatrix} 1&-1\\ -1&1\end{pmatrix} $

Из равенства видно, что в  кольце $latex P$  присутствуют делители нуля. Как следствие этого, мы можем наблюдать невозможность сокращения обоих частей равенства, так как это приведет нас к неверному равенству, то есть в кольце $latex P$ не действует закон сокращения. Если же в кольце $latex P$ нет делителей нуля, то

$latex a\cdot b=a\cdot c, a\ne 0 \Rightarrow b=c$ — закон сокращения.

Литература:

Делители нуля

Тест


 

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *