Определение и примеры линейных операторов. Действия над линейными операторами. Теория

Определение

Пусть $\left(X,\mathbb{P}\right)$, $\left(Y,\mathbb{P}\right)$ — линейные пространства.
Отображение $A:X\rightarrow Y$ называется линейным оператором, если $\forall a,b\in X$ $\forall\alpha,\beta\in \mathbb P$ выполняется равенство:
$A\left(\alpha a+\beta b\right)=\alpha A a+\beta A b$.

Примеры часто используемых операторов:

  • $\theta:X\rightarrow Y$ — нулевой оператор $\forall x\in X$ $\theta x=0$;
  • $\varepsilon:X\rightarrow X$ — тождественный (единичный) оператор $\forall x\in X$ $\varepsilon x=x$;
  • $\alpha\varepsilon:X\rightarrow X$ — скалярный оператор $\forall x\in X$ $\left(\alpha\varepsilon\right)x=\alpha x,$ $\alpha\in\mathbb{P}$;
  • $\rho:X\rightarrow L_{1}$ — оператор прямого проектирования, где $X=L_{1}+L_{2}$,
    $\forall x\in X$ $x=x_{1}+x_{2}$, $x_{1}\in L_{1}$, $x_{2}\in L_{2}$, $\rho x=x_{1}$.

Операции над линейными операторами

Сумма линейных операторов

Пусть $A,B$ — линейные операторы из $\Omega\left(X,Y\right)$
$C:X\rightarrow Y$, $C=A+B$
$Cx=\left(A+B\right)x=Ax+Bx$ $\forall x\in X$.

Произведение оператора и скаляра

Пусть $A$ — линейный оператор из $\Omega\left(X,Y\right)$, $\lambda\in\mathbb{P}$.
Тогда произведением $\lambda A$ называется отображение $C:X\rightarrow Y$
$\forall x\in X$ $Cx=\left(\lambda A\right)x=\lambda\left(Ax\right)$.

Произведение линейных операторов

Пусть $A,B$ — линейные операторы из $\Omega\left(X,Y\right)$ и из $\Omega\left(Y,Z\right)$
$X$, $Y$, $Z$ — линейные пространства над полем $\mathbb{P}$.
Оператор $BA:X\rightarrow Z$, определяемый соотношением $BAx=B\left(Ax\right)$ $\forall x\in X$,
называется произведением операторов $A$ и $B$.

Линейные операторы

Пройдите тест, чтоб узнать насколько хорошо Вы усвоили материал.


Таблица лучших: Линейные операторы

максимум из 3 баллов
Место Имя Записано Баллы Результат
Таблица загружается
Нет данных

Список использованной литературы:

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *