Тригонометрическая форма комплексного числа


Зададим декартову систему координат на плоскости. Изобразим комплексное число в его геометрической форме.
Угол $\varphi$ — аргумент числа $z$.
Screenshot_3

Между координатами точки существует взаимосвязь, которая верна при различных расположениях точек на плоскости:
$a=r\cos\varphi$, $b=r\sin\varphi$, где $r$ — это модуль комплексного числа $z$.
Эта взаимосвязь получена из определения геометрического представления комплексного числа.
Применив полученные формулы к алгебраической форме комплексного числа $\left(z=a+ib\right)$, мы получим: $z=a+ib=r\cos\varphi+i\left(r\sin\varphi\right)$, таким образом:
$z=r\left(\cos\varphi+i\sin\varphi\right)$ — тригонометрическая форма комплексного числа $z$.

Замечание!

Следует различать запись числа в тригонометрической форме и форме на него похожей:
$z=r\left(\cos\varphi-i\sin\varphi\right)$ — не тригонометрическая форма комплексного числа;
$z=r\left(\sin\varphi+i\cos\varphi\right)$ — не тригонометрическая форма комплексного числа;
$z=r\left(\cos\left(-\varphi\right)+i\sin\varphi\right)$ — не тригонометрическая форма комплексного числа.

Действия над комплексными числами в тригонометрической форме

$z_1=r_1\left(\cos\varphi_1+i\sin\varphi_1\right)$
$z_2=r_2\left(\cos\varphi_2+i\sin\varphi_2\right)$

Умножение

$z_1z_2=r_1r_2\left(\cos\varphi_1\cos\varphi_2-\sin\varphi_1\sin\varphi_2\right)+i\left(\cos\varphi_1\sin\varphi_2+\cos\varphi_2\sin\varphi_1\right)=$ $r_1r_2\left(\cos\left(\varphi_1+\varphi_2\right)+i\sin\left(\varphi_1+\varphi_2\right)\right)$

Деление

$\frac{z_1}{z_2}$=$\frac{r_1\left(\cos\varphi_1+i\sin\varphi_1\right)}{r_2\left(\cos\varphi_2+i\sin\varphi_2\right)}=$ $\frac{r_1}{r_2}\cdot\frac{\left(\cos\varphi_1+i\sin\varphi_1\right)\left(\cos\left(-\varphi_2\right)+i\sin\left(-\varphi_2\right)\right)}{\cos^{2}\varphi_2+\sin^{2}\varphi_2}=$ $\frac{r_1}{r_2}\left(\cos\left(\varphi_1-\varphi_2\right)+i\sin\left(\varphi_1-\varphi_2\right)\right)$

Возведение в степень (Формула Муавра)

$z\in\mathbb{C}$, $z=r\left(\cos\varphi+i\sin\varphi\right)$, $\forall n\in\mathbb{Z}$:
$z^{n}=r^{n}\left(\cos\left(n\varphi\right)+i\sin\left(n\varphi\right)\right)$

Тригонометрическое представление комплексных чисел

Пройдите тест, чтобы узнать хорошо ли Вы поняли материал.


Таблица лучших: Тригонометрическое представление комплексных чисел

максимум из 4 баллов
Место Имя Записано Баллы Результат
Таблица загружается
Нет данных

Список использованной литературы:

  • Курош А.Г. Курс высшей алгебры. М.: Наука, 1968, Глава 4, § 18, «Дальнейшее изучение комплексных чисел» стр.117-118;
  • Личный конспект, составленный на основе лекций Г.С.Белозерова
  • Фаддеев Д.К. Лекции по алгебре. М.: Наука, 1984, Глава 2, §2, стр.31-39

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *