Теорема Кантора

Если функция f определена и непрерывна на сегменте [a,b] , то она равномерно непрерывна на [a,b] .

Доказательство

Проведем доказательство методом от противного. Пусть f не равномерно непрерывна на [a,b] , тогда

\exists \varepsilon > 0,~ \forall \delta > 0 \exists~ x',~x''~ \epsilon~[a,b] , |x'-x''| < \delta : |f(x') - f(x'')| \geq \varepsilon .

Выберем последовательность \delta_n = \frac{1}{n} , n = \overline{1,+\infty} . Согласно допущению, найдутся такие последовательности \left\{x'_n \right\}_{n=1}^\infty , \left\{x''_n \right\}_{n=1}^\infty , что:

x'_n,~x''_n~\epsilon~[a,b] , |x'_n-x''_n|<\delta_n = \frac{1}{n} : |x'-x''| < \delta : |f(x'_n) - f(x''_n)| \geq \varepsilon .

Последовательность \left\{x'_n \right\}_{n=1}^\infty ограничена и поэтому имеет подпоследовательность \left\{x'_{n_{i}} \right\}_{i=1}^\infty , которая сходится к элементу x_0 , причем что x_0~\epsilon~[a,b] . Тогда для подпоследовательности \left\{x''_{n_{i}} \right\}_{n=1}^\infty x_0~\epsilon~[a,b] так же является пределом.

По условию теоремы f — непрерывна на [a,b] , поэтому

\lim\limits_{i\rightarrow \infty} f(x'_{n_{i}}) = f(x_0) = \lim\limits_{i\rightarrow \infty} f(x''_{n_{i}}) .

Это противоречит тому, что |f(x'_{n_{i}}-f(x''_{n_{i}})| \geq \varepsilon > 0 , \forall i = \overline{1,+\infty}.

Это противоречие и доказывает теорему.

\blacksquare

Решим таким же методом, каким было проведено доказательство теоремы, пример.

Спойлер

Доказать, что ограниченная и непрерывная функция f(x)=\sin{\frac{\pi}{x}} не является равномерно непрерывной на (0,1) .

f(x) — ограничена и непрерывна. Тогда \exists \varepsilon > 0,~ \forall \delta > 0 \exists~ x',~x''~ \epsilon~(0,1) |x'-x''| < \delta : |f(x') - f(x'')| \geq \varepsilon . Выберем такие подпоследовательности x'_n = \frac{1}{n},~x''_n = \frac{2}{2n-1} .

|f(x') - f(x'')| = |\sin{\pi n} - \sin{\frac{(2n-1)\pi}{2}}| = 1 .
|x' - x''| = |\frac{1}{n} - \frac{2}{2n-1} = |\frac{2n-1-2n}{n(2n-1)}| = \frac{1}{n(2n-1)} \rightarrow 0 .

\exists \varepsilon = 1 ~ \forall \delta можно выделить такие подпоследовательности x'_n=\frac{1}{n},~x''_n = \frac{2}{2n-1} |x'_n-x''_n| < \frac{1}{n} .

n > \frac{1}{\delta} : |f(x'_n)-f(x''_n)| = 1 \geq \varepsilon . Следовательно, функция не является равномерно непрерывной на (0,1) .

[свернуть]

Список использованной литературы:

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *