Поле

Понятие поля:

Коммутативное кольцо P , в котором есть единичный элемент и каждый ненулевой элемент имеет обратный, называется полем.

Так как любое поле является кольцом, следовательно операции сложения и умножения являются бинарными алгебраическими операциями, им присущи данные свойства:

  1. Всюду определенность;
  2. Однозначность;
  3. Замкнутость;

we

Rew

Также эти операции из-за того что это поле будут иметь следующие свойства:

  1. Для любых $ a$, $ b$, $ c$ относительно операции $ +$ выполняются следующие свойства:
    • сложение коммутативно, $ a+b=b+a$,
    • сложение ассоциативно, $ a+(b+c)=(a+b)+c$,
    • существует единственный нулевой элемент 0 такой, что $ a+0=a$ для любого элемента $ a$,
    • для каждого элемента $ a$ существует единственный противоположный элемент — $ a$ такой, что $ a+(-a)=0$.
  2. Для любых $ a$, $ b$, $ c$ относительно операции $ *$ выполняются следующие свойства:
    • умножение коммутативно, $ ab=ba$,
    • умножение ассоциативно, $ a(bc)=(ab)c$,
    • существует единственный единичный элемент 1 такой, что $ a\times 1=1\times a=a$ для любого элемента $ a$,
    • для каждого ненулевого элемента $ a$ существует единственный обратный элемент $ a^{-1}$ такой, что $ aa^{-1}=a^{-1}a=1$.
  3. Операции сложения и умножения связаны между собой следующим соотношением: умножение дистрибутивно относительно сложения, $ (a+b)c=ac+bc$.

Примеры полей:

  1. Рациональные числа;
  2. Вещественные числа;
  3. Комплексные числа;
  4. Поле вычетов по модулю $p$, $p$ простое число;

Список использованной литературы:

  1. Воеводин, В.В. Линейная алгебра : Наука. Главная редакция физико-математической литературы, 1974, ст. 28-29.
  2. Конспект лекций Белозерова Г.С.

Поле

Данный тест предназначен для проверки знаний по данной теме.

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *