Прямое дополнение

Дано пространство $ U \subseteq \mathbb{R}^4,$ натянутое на вектора $ a_1=(2,1,0,-3),$ $ a_2=(2,3,-1,0),$ то есть $ U = \langle (2,1,0,-3), (2,3,-1,0)\rangle. $
Найдем какое-либо дополнение $ V$ к $ U$ в $ \mathbb{R}^4$.

Проверим ЛНЗ $ a_1$ и $ a_2$.
$ rank \begin{pmatrix}
2 & 1 & 0 & -3 \\
2 & 3 & -1 & 0\end{pmatrix}= $ $ rank \begin{pmatrix}
2 & 1 & 0 & -3 \\
0 & 0 & -1 & 3\end{pmatrix}= 2 \Rightarrow$
$ \langle a_1, a_2\rangle$ — базис $ U$.
$ V$ удовлетворяет условию $ V \oplus U= \mathbb{R}^4$.
Из первого критерия прямой суммы получаем, что объединение базисов $ V$ и $ U$ образуют базис $ \mathbb{R}^4$. Так как $ \dim \mathbb{R}^4= 4$ и $ \dim U= 2 \Rightarrow $ $ \dim V= 2$. Найдем какой-либо базис $ V$ . Дополним для этого систему из векторов $ \langle a_1, a_2\rangle$ до базиса векторами стандартного базиса $ (e_1,e_2,e_3,e_4)$ в $ \mathbb{R}^4$.
Зафиксируем в полученной системе вектора $ a_1$, $ a_2$ и выделим из этой системы ЛНЗ систему, содержащую эти вектора
$ \begin{pmatrix}
1 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 1 \\
2 & 1 & 0 & -3 \\
2 & 3 & -1 & 0 \end{pmatrix} \sim \begin{pmatrix}
1 & 0 & 0 & 0\\
0 & 1 & 0 & 0\\
0 & 0 & 1 & 0\\
0 & 0 & 0 & 1\\
0 & 0 & 0 & -3\\
0 & 0 & -1 & 0\end{pmatrix} \sim \begin{pmatrix}
1 & 0 & 0 & 0\\
0 & 1 & 0 & 0\\
0 & 0 & 0 & -3\\
0 & 0 & -1 & 0\end{pmatrix} \sim \begin{pmatrix}
e_1 \\
e_2 \\
a_1 \\
a_2 \end{pmatrix} \Rightarrow $
$ \langle e_1, e_2, a_1, a_2\rangle$ -ЛНЗ,
так как эта система максимальна, она и образует базис $ \mathbb{R}^4$.
Отсюда и из рассуждения в начале получаем, что $ L \langle e_1, e_2\rangle= V$ одно из прямых дополнений к $ U$.

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *