M1554

 

Задача из журнала «Квант» (1996, №4)

Условие

На основании треугольника [latex]ABC[/latex] во внешнюю сторону построены квадраты [latex]ABMN, BCKL,[/latex] и [latex]ACPQ[/latex]. На отрезках [latex]NQ[/latex] и [latex]PK[/latex] построены квадраты [latex]NQZT[/latex] и [latex]PKXY[/latex].Найдите разность площадей квадратов [latex]NQZT, PKXY[/latex], если известна разность площадей квадратов[latex]ABMN, BCKL[/latex].
444

Ответ:

[latex]3d[/latex] (где [latex]3d[/latex] — заданная разность площадей).

По теореме косинусов (см. рисунок),

[latex]NQ^2=AN^2+AQ^2-2AN\cdot AQ\cdot \cos\angle NAQ=AB^2+AC^2-2\cdot AB\cdot BC\cdot \cos\angle NAQ,[/latex] [latex]BC^2=AB^2+AC^2-2AB\cdot AC\cdot \cos\angle BAC[/latex] .

Поскольку [latex]\angle NAC+\angle BAC=180^{\circ}[/latex], сумма их косинусов равна [latex]0[/latex]. Поэтому

[latex]NQ^2+BC^2=2AB^2+2AC^2[/latex]

Аналогично: [latex]PK^2+AB^2=2BC^2+2AC^2[/latex]. Поэтому

[latex]NQ^2-PK^2=3AB^2-3BC^2=3d[/latex]

А.Герко, М.Вялый

M1554: 2 комментария

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *