Критерий дифференцируемости функции

Определение

Если функция [latex]y=f(x)[/latex] определена в некоторой [latex]\delta[/latex]-окрестности точки [latex]x_{0}[/latex], а приращение [latex]\Delta y[/latex] функции [latex]y=f(x)[/latex] в точке [latex]x_{0}[/latex] представимо в виде:
$$\Delta y = A\Delta x + \Delta x \varepsilon (\Delta x),$$ где [latex]A=A(x_{0})[/latex] не зависит от [latex]\Delta x[/latex], а [latex]\varepsilon(x) \rightarrow 0[/latex] при [latex]\Delta x \rightarrow 0[/latex], то функция [latex]f[/latex] называется дифференцируемой в точке [latex]x_{0}[/latex], а произведение [latex]A\Delta x[/latex] называется её дифференциалом в точке [latex]x_{0}[/latex] и обозначается [latex]df(x_{0})[/latex] или $dy.$

Таким образом, [latex]\Delta y=dy+o(\Delta x)[/latex], при [latex]\Delta x \rightarrow 0[/latex], где [latex]dy=A\Delta x[/latex].

Теорема (Критерий дифференцируемости функции)

Для того, чтобы функция [latex]f[/latex] была дифференцируема в точке [latex]x_{0}[/latex] необходимо и достаточно, чтобы она имела производную в точке [latex]x_{0}[/latex]. При этом дифференциал функции и её производная связаны следующим равенством:
[latex]dy={f}’ (x^{0})\Delta x[/latex].

Доказательство

Необходимость
Если функция [latex]f(x)[/latex]−дифференцируема в точке [latex] x_{0} [/latex], то [latex]\exists A: \Delta f(x))=A+\Delta x\alpha (\Delta x)[/latex], где: [latex]\lim_{\Delta x\rightarrow 0}\alpha (\Delta x)=0[/latex].
Отсюда получаем, что [latex]\lim_{\Delta x\rightarrow 0}\frac{\Delta f(x)}{\Delta x}=\lim_{\Delta x\rightarrow 0}\frac{A}{\Delta x}+\frac{\Delta x\alpha (\Delta x)}{\Delta x}=[/latex][latex]=\lim_{\Delta x\rightarrow 0}A+\alpha (\Delta x)=A[/latex]. Отсюда [latex]\exists f{}'(x_{0})=A[/latex], откуда следут, что [latex]dy=f{}'(x_{0})\Delta x[/latex].

Достаточность
Если существует [latex] f{}'(x_{0})=\lim_{\Delta x\rightarrow 0}\frac{\Delta f(x)}{\Delta x} [/latex], то [latex] \frac{\Delta f(x)}{\Delta x}- f{}'(x_{0}) = \alpha (\Delta x) [/latex], где [latex] \lim_{\Delta x\rightarrow 0}\alpha (\Delta x)=0 [/latex]. Отсюда следует, что [latex] \Delta f(x)=f{}'(x_{0})\Delta x+\alpha (\Delta x)\Delta x [/latex]. Полученное равенство означает, что функция [latex] f(x) [/latex] — дифференцируема в точке [latex] x_{0} [/latex].  [latex]\square [/latex].

Замечание

Приращение [latex] \Delta x [/latex] часто обозначают символом [latex] dx [/latex] и называют дифференциалом независимого переменного. По-этому формулу [latex] dy={f}’ (x^{0})\Delta x [/latex] записывают в виде [latex] dy={f}’ (x^{0})dx [/latex].

Тест

Тест:

Тест на проверку усвоения связи между производной и дифференциалом.

Критерий дифференцируемости функции

Тест на знание критерия дифференцируемости функции.

Таблица лучших: Критерий дифференцируемости функции

максимум из 20 баллов
Место Имя Записано Баллы Результат
Таблица загружается
Нет данных

Критерий дифференцируемости функции: 1 комментарий

  1. Вы ссылаетесь не на те издания учебников, сканы которых есть на нашем сайте. Например, у нас Тер-Крикоров 2001 года, у Вас — 1988. Этот материал исключили из нового издания? Хорошо, тогда сделайте ссылку, где его можно скачать. С остальной литературой тоже.
    Вы ошиблись разделом. Вы пишите про функции одной переменной.
    Нет ни одного рисунка во всей курсовой работе. Хоть один SVG обязателен.
    В последнем примере под спойлером пусто.

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *