Формула конечных приращений Лагранжа

Теорема (Формула конечных приращений Лагранжа)

Если функция  f\in C[a,b] и дифференцируема на интервале (a,b), то  \exists \theta \in (0,1), f(a)-f(b)=f{}'(x_{0} )(b-a), где  x_{0}=a+ \theta(b-a).

Геометрический смысл (для случая одной переменной): на дуге графика данной функции, соединяющей точки (a,f(a)) и (b,f(b)), найдется точка (c,f(c)), (и, возможно, не одна), в которой касательная к графику функции параллельна хорде, соединяющей концы дуги.

RealyfinalVersion — копия

Доказательство

Рассмотрим функцию \varphi (x)=f(x)+\lambda x где число \lambda выберем таким, чтобы выполнялось условие \varphi (a)=\varphi (b), т.е. f(a)+\lambda a=f(b)+\lambda b. Отсюда находим: \lambda =-\frac{f(b)-f(a)}{b-a}.

Так как функция \varphi (x) непрерывна на отрезке [a,b], дифференцируется на интервале (a,b) и принимает равные значения на концах этого интервала то, по теореме Ролля, существует точка x_{0}\in (a,b) такая, что \varphi{}'(x_{0})=f{}'(x_{0})+\lambda =0. Отсюда получаем, что f{}'(x_{0})=\frac{f(b)-f(a)}{b-a} , или f(b)-f(a)=f{}'(x_{0})(b-a). \square

[spoilergroup]

Спойлер

Доказать, что \ln (1+x)\leqslant xx>0 (*),
\left | \arctan x_{2} -\arctan x_{1} \right |\leqslant \left | x_{2}-x_{1} \right |, x_{1}\in \mathbb{R}, x_{2}\in \mathbb{R}. (**)
а) Применяя теорему Лагранжа к функции f(x)=\ln (1+x) на отрезке [0,x], где x>0, получаем \ln(1+x)=\frac{1}{1+\xi }x, откуда следует неравенство (*), так как 0<\xi<x.
б) По теореме Лагранжа для функции \arctan x на отрезке с концами x_{1} и x_{2} находим
$$\arctan x_{2} — \arctan x_{1}=\frac{1}{1+\xi ^{2}}(x_{2}-x_{1}),$$
откуда получаем \left | \arctan x_{2}-\arctan x_{1} \right |=\frac{\left | x_{2}-x_{1} \right |}{1+\xi ^{2}}\leqslant \left | x_{2}-x_{1} \right |, так как 0<\frac{1}{1+\xi^{2}}\leqslant 1.
Полагая в соотношении (**) x_{2}=x, x_{1}=0, получаем
\left | \arctan x \right |\leqslant \left | x \right |, x\in \mathbb{R},
и, в часности,
0\leqslant \arctan x\leqslant x, x\geqslant 0.

[свернуть]

[/spoilergroup]

Использованная литература

Рекомендованная литература

Тест

Формула конечных приращений Лагранжа

Теста на знание формулы конечных приращений Лагранжа

Таблица лучших: Формула конечных приращений Лагранжа

максимум из 10 баллов
Место Имя Записано Баллы Результат
Таблица загружается
Нет данных

Формула конечных приращений Лагранжа: 1 комментарий

Добавить комментарий для Igor Mazurok Отменить ответ

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *