Определение квадратичной формы

Определение

Квадратичной формой [latex]Q\left(x_{1}, x_{2}, …, x_{n} \right)[/latex] от [latex]n[/latex] неизвестных [latex]x_{1}, x_{2}, …, x_{n}[/latex] называется сумма, каждое слагаемое которой является или квадратом одного из этих неизвестных, или произведением двух разных неизвестных.

Обозначая коэффициент при [latex]x_{i}^{2}[/latex] через [latex]a_{ii}[/latex], а при произведении [latex]x_{i}x_{j}=x_{j}x_{i}\left(i\neq j \right)[/latex] — через [latex]a_{ij}+a_{ji}\left(a_{ij}=a_{ji} \right)[/latex], квадратичную форму [latex]Q[/latex] можно представить в виде

[latex]Q\left(x_{1}, x_{2}, …, x_{n} \right) = a_{11}x_{1}^{2}+a_{12}x_{1}x_{2}+…+a_{1n}x_{1}x_{n}+…+a_{n1}x_{n}x_{1}+a_{n2}x_{n}x_{2}+…+a_{nn}x_{n}^{2}=\sum_{i=1}^{n}{\sum_{j=1}^{n}{a_{ij}x_{i}x_{j}}}[/latex]

Симметричная матрица [latex]A= \left(a_{ij} \right)[/latex] называется матрицей квадратичной формы [latex]Q[/latex].

Примеры

Пример 1

Написать матрицу квадратичной формы.
[latex]Q\left(x_{1}, x_{2}, x_{3} \right) = 2x_{1}^{2}-5x_{2}^{2}+8x_{3}^{2}+4x_{1}x_{2}-2x_{1}x_{3}+6x_{2}x_{3}[/latex]

Пример 2

Написать квадратичную форму по её матрице.
[latex]A=\begin{pmatrix}4 & 0& 2\\ 0& 7 & 1\\ 2&1 &-5 \end{pmatrix}[/latex]

[spoilergroup]

Пример 1

[latex]A=\begin{pmatrix}2 & 2& -1\\ 2& -5 & 3\\ -2&3 &8 \end{pmatrix}[/latex]

[свернуть]

Пример 2

[latex]Q\left(x_{1}, x_{2},x_{3} \right) = 4x_{1}^{2}+7x_{2}^{2}-5x_{3}^{2}+4x_{1}x_{3}+2x_{2}x_{3}[/latex]

[свернуть]

[/spoilergroup]

Тест на знание квадратичной формы

Тест на умение распознать квадратичную форму и составить для неё матрицу квадратичной формы, а также наоборот — написать квадратичную форму по её матрице.

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *