M1603. О вычислении площадей и объемов фигур на плоскости и в пространстве

Задача из журнала «Квант» (1997 г. №4)

Условие

Фигура $M$  на плоскости $Oxy$ представляет собой пересечение единичного квадрата
$0\leq$ $x$ $\leq1$, $0\leq$ $y$ $\leq1$ с полуплоскостью $ax+by$ $\leq$ $c$ ($a,b$ и $c$- положительные числа). Докажите, что площадь  $M$ вычисляется по формуле:

$\frac{1}{2ab}((c^{2})_{+}-(c-a)^{2}_{+}-(c-b)^{2}_{+}+(c-a-b)^{2}_{+})$,

где $(x)_{+}$ означает наибольшее из чисел $x$ и $0$: $(x)_{+}=max(x,0)$. Выведите аналогичную формулу для объема многогранника  $M$ в пространстве $Oxyz$, представляющего собой пересечение единичного куба $0\leq$ $x$ $\leq1$, $0\leq$ $y$ $\leq1$, $0\leq$ $z$ $\leq1$ с полупространством $ax+by+cz$ $\leq$ $d$ ($a$, $b$, $c$ и $d$- положительные числа).

Заметим, что выражение $(c-b)^{2}_{+}$ (и аналогичные) в условии означает число, равное $(c-b)^{2}$, если $c-b\geq 0$ и $0$, если $c-b<0$.

Решение

Покажем сначала идею решения, а потом ее оформим. У квадрата 4 угла- это очень много. Давайте рассмотрим фигуру с одним углом- положительный квадрант $(x>0$, $y>0)$.
Полуплоскость $ax+by<c$ содержит все точки ниже прямой $ax+by=c$. Общая часть полуплоскости и квадранта $(рис.1)$- это треугольник. Прямая пересекает оси координат на расстояниях $\frac{c}{a}$ и $\frac{c}{b}$ от начала координат, поэтому площадь общего треугольника равна $\frac{c^{2}}{2ab}$.

M1603(12)
Решив задачу для фигуры с одним прямым углом, решим ее для фигуры с двумя прямыми углами, т.е. для полосы, лежащей в положительном квадранте $(рис.2)$. Для это надо из треугольника, попавшего в положительный квадрант, вычесть треугольник, попавший в новый положительный квадрант с вершиной в точке $(1,0)$. Этот новый квадрант задает новую систему координат , в которой все абсциссы точек на единицу меньше.

Уравнение прямой в новой системе координат выглядит так: $a(x’+1)+by’=c$, или $ax’+by’=c-a$. Это уравнение аналогично исходному с той разницей, что $(c-a)$ может быть отрицательным. Следовательно, если  $(c-a)>0$, то площадь треугольника в новом квадранте будет $\frac{(c-a)^{2}}{2ab}$, а если  $(c-a)<0$, то пересечения нет, и площадь считаем равной нулю. Тогда формулу для площади пересечения полуплоскости c

M1603(23)

полосой $\frac{c^{2}}{2ab}-\frac{(c-a)_{+}^{2}}{2ab}$. Теперь легко получить выражение для квадранта с помощью четырех положительных квадрантов с вершинами в точках $(0;0)$, $(0;1)$, $(1;0)$ и $(1;1)$, которые отличаются параллельным переносом $(рис.3)$. Для этого надо из квадранта с вершиной $(0;0)$ «вычесть» квадрант с вершиной $(1;0)$, «прибавить» квадрант с вершиной $(1;1)$ и «вычесть» квадрант с вершиной $(0;1)$. Обратите внимание: знаки расставлены так, что каждая точка внутри квадрата учтена один раз, а каждая точка вне квадрата- ноль раз. Выражение такого типа называется формулой включения-исключения. Аналогичная формула верна и для пересечения квадрата с полуплоскостью.

Выражая площади соответствующих треугольников $(рис.4)$ в новых системах координат, получаем формулу включения-исключения для площади пересечения полуплоскости с квадратом:

$\frac{\left [ c^{2}-(c-a)_{+}^{2}-(c-b)_{+}^{2}+(c-a-b)_{+}^{2}\right]}{2ab}$

В случае пересечения куба с полупространством надо сначала рассмотреть пересечение полупространства с положительным октантом и найти объем общего тетраэдра. Затем представить куб в виде «суммы» и «разности» восьми положительных октантов с вершинами в вершинах куба. Потом переписать уравнение полупространства в каждой из восьми систем координат $a(x’+p)+b(y’+q)+c(z’+r)\leq d$, где $(p;q;r)$- вектор параллельного переноса исходного октанта. И наконец, написать формулу включения-исключения для объемов тетраэдров в октантах:

$\frac{\left[d^{3}-(d-a)^{3}_{+}-(d-b)^{3}_{+}-(d-c)^{3}_{+}+(d-a-b)^{3}_{+}+(d-b-c)^{3}_{+}+(d-c-a)^{3}_{+}-(d-a-b-c)^{3}_{+}\right]}{6abc}$

А.Канель, А.Ковальджи

M1603. О вычислении площадей и объемов фигур на плоскости и в пространстве: 2 комментария

  1. Разметка должна быть семантической. И уж точно никаких параметров задания стиля использовать нельзя. И на отображение формул это влияет в худшую сторону.
    Стрелки не очень удачно нарисованы — это ведь просто закрашенный треугольник или четырехугольник.

    1. Исправил. Вы говорили, что рисовать стрелки, как закрашенные треугольники— не так страшно.

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *