Сходящиеся и расходящиеся числовые ряды. Необходимое условие сходимости

Пусть дана последовательность [latex]a_1, a_2,…, a_n,…[/latex], где [latex]a_i\epsilon \mathbb{R}, i \epsilon \mathbb{N}[/latex]

Символ вида (*) [latex]a_1+a_2+…+a_n+…[/latex] называется числовым рядом и обозначается[latex]\sum_{n=1}^{\infty}a_n [/latex], при этом [latex]a_n[/latex] называется общим членом ряда. Ряд (*) называется сходящимся, если существует предел [latex]\lim_{n \to \infty }S_n[/latex], где [latex]S_n[/latex] это n-ая частичная сумма ряда, [latex]S_n=\sum_{k=1}^{n}a_k[/latex].

s

При этом, число [latex]S=\lim_{n \to \infty }S_n[/latex] называется суммой ряда, и пишут [latex]S=\sum_{n=1}^{\infty}a_n [/latex].

Если же предел частичных сумм [latex]\lim_{n \to \infty }S_n[/latex] не существует или бесконечен, то говорят, что ряд (*) расходится и никакой суммы ряду не присваивается.

Пример:

Исследовать на сходимость ряд

[latex]q+q^{2}+…+q^{n}+…[/latex]

Запишем n-ю частичную сумму и с упростим выражение с помощью формулы суммы геометрической прогрессии.

[latex]S_n=q+q^{2}+…+q^{n}=\frac{q(1-q^{n})}{1-q}[/latex], [latex]|q|\neq1[/latex]
[latex]\lim\limits_{n \to \infty}S_n=\lim\limits_{n \to \infty}\frac{q(1-q^{n})}{1-q}=\frac{q}{1-q}[/latex], при [latex]|q|<1[/latex]
[latex]\lim\limits_{n \to \infty}S_n=\lim\limits_{n \to \infty}\frac{q(1-q^{n})}{1-q}=\infty[/latex], при [latex]|q|>1 [/latex].
[latex]\lim\limits_{n \to \infty}S_n=\lim\limits_{n \to \infty}n=\infty[/latex], при [latex]q=1 [/latex].
[latex]\lim\limits_{n \to \infty}S_n[/latex] не существует, при [latex]q=-1 [/latex].

Таким образом, при [latex]|q|<1[/latex] ряд сходится, а при [latex]|q|\geq1 [/latex] — расходится.

Необходимое условие сходимости числового ряда

Если ряд [latex]\sum_{n=1}^{\infty}a_n[/latex] сходится, то необходимо [latex]\lim_{n \to \infty}a_n=0[/latex].

Доказательство.

Если ряд сходится, то [latex]\exists \lim_{n \to \infty}S_n=S[/latex], следовательно [latex]\exists \lim_{n \to \infty}S_{n-1}=S[/latex].

Рассмотрим [latex]\lim_{n \to \infty}(S_{n-1}-S_n)=S-S=0[/latex], где [latex]S_{n-1}-S_n=a_n[/latex], [latex]a_n[/latex] — общий член ряда, [latex]\lim_{n \to \infty}a_n=0[/latex]. Теорема доказана.

Пример:

Исследовать на сходимость ряд

[latex]\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{n}{2n-1}[/latex].

Необходимое условие не выполняется: [latex]\lim\limits_{n \to \infty}\frac{n}{2n-1}=\frac{1}{2}\neq 0[/latex]. Следовательно, ряд расходится.

Литература

Сходящиеся и расходящиеся ряды

Тест на проверку знаний о сходящихся и расходящихся рядах, а также необходимого условия сходимости.

Сходящиеся и расходящиеся числовые ряды. Необходимое условие сходимости: 1 комментарий

  1. — Не правильно записана в laTeX функция логарифма натурального в тесте «Среди следующих рядов выбрать те, что». В этом же тесте проверьте правильно ли Вы проставили верные и ошибочные варианты. Мне кажется там есть ошибки.

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *