Знакоопределённые квадратичные формы

Определение

Квадратичная форма называется знакоопределённой, если она положительно определённая или отрицательно определённая.

Пусть [latex]x \in \mathbb{R}^{n}[/latex].

Квадратичная форма [latex]Q[/latex] называется положительно определённой если для любого [latex]x\neq 0[/latex] справедливо неравенство [latex]Q\left(x \right)>0[/latex].

Аналогично, если для любого [latex]x\neq 0[/latex] имеем [latex]Q\left(x \right)<0[/latex], то такая квадратичная форма называется отрицательно определённой.

Примеры

Пример 1

Является ли квадратичная форма [latex]Q\left(x_{1},x_{2} \right)=x_{1}^{2}+2x_{2}^{2}[/latex] знакоопределённой? Если да, то какой именно?

Ответ

Нет, квадратичная форма является неопределённой.

[свернуть]

Пример 2

Является ли квадратичная форма [latex]Q\left(x_{1},x_{2},…,x_{n} \right)=x_{1}^{2}+…+x_{m }^{2}-x_{m+1}^{2}-…-x_{n}^{2}[/latex], где [latex]\left(m<n\right)[/latex], знакоопределённой? Если да, то какой именно?

Ответ

Да, является. Квадратичная форма положительно определённая, так как [latex]Q\left(x_{1},x_{2} \right)>0[/latex] для всех [latex]x_{1},x_{2}[/latex], кроме [latex]x_{1}=x_{2}=0[/latex].

[свернуть]

Тест на знание знакоопределённой квадратичной формы

Тест на умение распознать вид квадратичной формы.

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *