Знакоопределённые квадратичные формы

Определение

Квадратичная форма называется знакоопределённой, если она положительно определённая или отрицательно определённая.

Пусть x \in \mathbb{R}^{n}.

Квадратичная форма Q называется положительно определённой если для любого x\neq 0 справедливо неравенство Q\left(x \right)>0.

Аналогично, если для любого x\neq 0 имеем Q\left(x \right)<0, то такая квадратичная форма называется отрицательно определённой.

Примеры

Пример 1

Является ли квадратичная форма Q\left(x_{1},x_{2} \right)=x_{1}^{2}+2x_{2}^{2} знакоопределённой? Если да, то какой именно?

Ответ

Нет, квадратичная форма является неопределённой.

[свернуть]

Пример 2

Является ли квадратичная форма Q\left(x_{1},x_{2},...,x_{n} \right)=x_{1}^{2}+...+x_{m }^{2}-x_{m+1}^{2}-...-x_{n}^{2}, где \left(m<n\right), знакоопределённой? Если да, то какой именно?

Ответ

Да, является. Квадратичная форма положительно определённая, так как Q\left(x_{1},x_{2} \right)>0 для всех x_{1},x_{2}, кроме x_{1}=x_{2}=0.

[свернуть]

Тест на знание знакоопределённой квадратичной формы

Тест на умение распознать вид квадратичной формы.

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *