Замена переменных

Пусть функция [latex]f(x)[/latex] определена и непрерывна на промежутке [latex][a,b)[/latex] и интегрируема в каждой части этого отрезка, не содержащей точки [latex]b[/latex], которая может быть и [latex]+\infty[/latex].

Рассмотрим теперь функцию [latex]x=\phi(t)[/latex], которая является монотонно возрастающей и непрерывной вместе со своей производной [latex]\phi'(t)[/latex] на промежутке [latex][\alpha,\beta)[/latex]. Допустим, что [latex]\phi(\alpha)=a[/latex] и [latex]\phi(\beta)=b[/latex]. Равенство [latex]\phi(\beta)=b[/latex] следует понимать как [latex]\lim_{t \to \beta}\phi(t)=b[/latex]. Если соблюдены все вышеперечисленные условия, то имеет место равенство:

$$\int\limits_{a}^{b}f(x)=\int\limits_{a}^{b}f(\phi(t))\phi'(t)dt$$

при условии, что один из этих интегралов сходится. Из существования одного из двух интегралов в равенстве вытекает существование второго. Второй интеграл будет либо собственным,либо несобственным с единственной особой точкой [latex]\beta[/latex].

Доказательство

Пусть теперь [latex]x_0[/latex] и [latex]t_0[/latex] будут произвольными, но соответствующими значениям [latex]x[/latex] и [latex]t[/latex] и их промежуткам [latex](a,b)[/latex] и [latex](\alpha, \beta)[/latex]. Тогда будем иметь:

$$\int\limits_{a}^{x_0}f(x)=\int\limits_{a}^{t_0}f(\phi(t))\phi'(t)dt$$

Если существует второй из интегралов, будем приближать произвольным образом [latex]x_0[/latex] к [latex]b[/latex], при этом [latex]t_0=\theta(x_0)[/latex] устремится к [latex]\beta[/latex], существование второго интеграла доказано. Данное рассуждение одинаково применимо и к монотонно убывающей функции.

Спойлер

$$I=\int_{0}^{+\infty}\frac{dx}{(x^2+1)^{3/2}}=\int_{0}^{\pi/2}\frac{\frac{dt}{\cos^2(t)}}{(tg^2(t)+1)^{2/3}}=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\cos(t)dt=\sin(t)|_{0}{\frac{\pi}{2}}=1$$
file

[свернуть]

Литература

Тест : Замена переменных

Тест на знание метода замены переменных в случае несобственных интегралов

Замена переменных: 1 комментарий

  1. — В Ваших статьях практически нет разметки. Даже список литературы у Вас не оформлен как список. Это не приемлемо.
    — На все статьи должен быть хоть один рисунок.
    — «непрерывна на отрезке [a,b) » — это не отрезок. Отрезок включает концы. Интервал — не включает. Промежуток более общее понятие, которое и должно здесь использоваться. Исправьте в тексте и тестах.
    — Обязательно покажите свои тексты преподавателю матанализа.
    — Если формула в тексте или тестах занимает отдельную строку, то подстрочные и надстрочные записи в интегралах, суммах и пределах не нужно вытягивать в линию, а нужно писать именно под и над знаками.
    — Если Вы ссылаетесь на издание Фихтенгольца 2001 года, то обязательно укажите ссылку в сети, где Вы его нашли. Я разместил для ознакомления издание 1964 года и буду рад получить более свежее.

Добавить комментарий для Igor Mazurok Отменить ответ

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *