Равномерная сходимость и непрерывность суммы степенного ряда, вторая теорема Абеля

Теорема 1

Пусть дан степенной ряд

$$\sum\limits_{n=0}^{\infty}a_{n}x^{n}\quad (1)$$
радиус сходимости которого $R > 0$. Тогда для любого $r$, такого, что
$0 < r < R$, ряд (1) равномерно сходится на $\left [ -r,r \right ]$.

Доказательство

В каждой точке, лежащей внутри интервала сходимости, степенной ряд сходится абсолютно. Тогда возьмем вместо $x$ число $r$, такое что выполняется условие: $0\leq r\leq R$.
Тогда сходится числовой ряд $\sum\limits_{n=0}^{\infty}\mid a_{n}\mid r^{n}$. Поэтому, в силу признака Вейерштрасса, из неравенства $\mid a_{n}x^{n}\mid\leq\mid a_{n}\mid r^{n}\left ( \mid x\mid\leq r \right )$ заключаем, что
ряд (1) сходится равномерно на $\left [ -r,r \right ]$.

Теорема 2

Сумма степенного ряда (1) с радиусом сходимости
$R > 0$ является непрерывной функцией на интервале сходимости $\left ( -R, R \right )$.

Доказательство

Согласно предыдущей теореме, ряд (1) равномерно сходится на $\left [ -r,r \right ]$ $\subset$ $\left ( -R, R \right )$, однако про весь интервал это точно утверждать нельзя, так как на интервале $\left ( -R, R \right )$ ряд (1) может сходиться и неравномерно. Пусть $x_{0}\in\left ( -R, R \right )$. Выберем такое $r$, что $x_{0}$<$r$<$R$. Так как $x_{0}$ – внутренняя точка отрезка $\left [ -r,r \right ]$ и на $\left [ -r,r \right ]$ ряд (1) сходится равномерно, то, по теореме о непрерывности суммы равномерно сходящегося ряда непрерывных функций, сумма ряда (1) является непрерывной функцией на $\left [ -r,r \right ]$, включая точку $x_{0}$.
Поскольку точку$x_{0}\in\left ( -R, R \right )$ мы взяли произвольную, то сумма ряда (1) непрерывна на интервале $\left ( -R, R \right )$.

Теорема 3

Если степенной ряд (1) с радиусом сходимости $R$>$0$
расходится в точке $x = R$ или $x=-R$, то он не является равномерно сходящимся на $\left ( -R, R \right )$.

Доказательство

Пусть ряд (1) расходится при $x=R$. В случае, если
бы ряд  (1) на $\left ( -R, R \right )$ сходился равномерно, то, согласно теореме о почленном переходе к пределу, мы получили бы, что сходится ряд из
пределов

$\sum\limits_{n=0}^{\infty}\lim\limits_{x\rightarrow R-0}a_{n}x^{n}=\sum\limits_{n=0}^{\infty}a_{n}R^{n}$,
однако это противоречит предположению. Теорема доказана.

 

Спойлер

slsls

[свернуть]

Вторая теорема Абеля

Если $R$ – радиус сходимости ряда $\sum\limits{n=0}^{\infty}a_{n}z^{n}$ и это ряд сходится  при $z=R$, то он сходится равномерно на от отрезке $\left [ 0;R \right ]$ действительной оси.

Доказательство

Пусть $x$ не превышает радиуса сходимости ряда. То есть:$0\leq x\leq R$. Заменим переменную $x$ на $R$ и получим из ряда $\sum\limits_{n=0}^{\infty}a_{n}x_{n}$ ряд, имеющий вид: $\sum\limits_{n=0}^{\infty}a_{n}R_{n}\left ( \frac{x}{R} \right )^{n}$. Видим, что полученный ряд $\sum\limits_{n=0}^{\infty}a_{n}R^{n}$ не зависит от переменной $x$, тогда его сходимость означает и равномерную сходимость. Очевидно, что последовательность ${ \left ( \frac{x}{R} \right )^{n}}$ ограничена на отрезке $\left [ 0;R \right ]$, ее члены неотрицательны: $0\leq\left ( \frac{x}{R} \right )^{n}\leq 1$. Эта последовательность убывает в каждой точке (при $x=R\quad$ она не строго убывает, точнее, является стационарной). Значит выполняются условия признака Абеля равномерной сходимости рядов. То есть ряд $\sum\limits_{n=0}^{\infty}a_{n}z^{n}$ равномерно сходится на отрезке $\left [ 0;R \right ]$.

Источники:

Тест для закрепления материала.

Равномерная сходимость и непрерывность суммы степенного ряда, вторая теорема Абеля: 2 комментария

    1. Да, почти во всех старых работах. Плагин, который использовался раньше для laTeX больше не поддерживается, а форк от фанатов слегка прихрамывает.
      Здесь исправил, остальное берегу, как задание для первокурсников в 2021 году.

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *