M1568. Сечение пирамиды

Задача из журнала «Квант» (1996, №5, M1568)

Условие

Докажите что при [latex]n\ge 5[/latex] сечение пирамиды, в основании которой лежит правильный n-угольник, не может являться правильным (n+1)-угольником.

Решение

Пусть правильный (n+1) –угольник [latex]{ B }_{ 1 }…{ B }_{ n }[/latex] является сечением пирамиды [latex]S{ A }_{ 1 }…{ A }_{ n }[/latex] где [latex]{ A }_{ 1 }…{ A }_{ n }[/latex] – правильный n-угольник. Мы рассмотрим три случая: [latex]n=5 , n=2k-1 (k>3)[/latex]  и [latex]n=2k (k>2)[/latex]
Так как n-угольная пирамида имеет [latex](n+1)[/latex] грань, то стороны сечения находятся по одной в каждой грани пирамиды. Поэтому без ограничения общности рассуждений можно считать, что точки [latex]{ B }_{ 1 }…{ B }_{ n+1 }[/latex] расположены на ребрах пирамиды так, как показано на рисунках 1 и 2 ( в соответствии с указанными случаями).

  1. [latex] n=5 [/latex]. Так как в правильном шестиугольнике [latex]{ B }_{ 1 }…{ B }_{ 6 }[/latex] прямые [latex]{ B }_{ 2 }{ B }_{ 3 }, { B }_{ 5 }{ B }_{ 6 }[/latex] и [latex]{ B }_{ 1 }{ B }_{ 4 }[/latex] параллельны, а плоскости  [latex]{ A }_{ 2 }S{ A }_{ 3 }[/latex] и [latex]ASA [/latex] проходят через [latex]{ B }_{ 2 }{ B }_{ 3 }[/latex] и [latex]{ B }_{ 5 }{ B }_{ 6 }[/latex]  то их линия пересечения [latex]{ ST ( T= { A }_{ 1 }{ A }_{ 5 } }\bigcap { A } _{ 2 }{ A }_{ 3 } )[/latex] параллельна этим прямым т.е. [latex]ST\parallel { B }_{ 1 }{ B }_{ 4 }[/latex] Проведем через прямые [latex]ST[/latex]  и [latex]{ B }_{ 1 }{ B }_{ 4 }[/latex] плоскость. Эта плоскость пересечет плоскость основания пирамиды по прямой [latex]{ B }_{ 1 }{ A }_{ 4 }[/latex] которая должна проходить через точку пересечения прямой [latex]ST[/latex] с плоскостью основания т.е. через точку [latex]T[/latex]. Итак, прямые [latex]{ A }_{ 1 }{ A }_{ 5 }, { A }_{ 4 }{ B }_{ 1 }[/latex] и [latex]{ A }_{ 2 }{ A }_{ 3 }[/latex] пересекаются в одной точке.Аналогично доказывается, что прямые [latex]{ A }_{ 1 }{ A }_{ 2 }, { A }_{ 3 }{ B }_{ 6 }[/latex] и [latex]{ A }_{ 4 }{ A }_{ 5 }[/latex]  и пересекаются в одной точке. Из этого следует что [latex]{ A }_{ 4 }{ B }_{ 1 }[/latex] и [latex]{ A }_{ 3 }{ B }_{ 6 }[/latex]  – оси симметрии правильного пятиугольника [latex]{ A }_{ 1 }…{ A }_{ 5 }[/latex] , значит. Точка O их пересечения – центр этого пятиугольника. Заметим теперь, что если [latex]Q[/latex] – центр правильного шестиугольника [latex]{ B }_{ 1 }…{ B }_{ 6 }[/latex] , то плоскости [latex] S{ A }_{ 3 }{ B }_{ 6 }, S{ A }_{ 4 }{ B }_{ 1 }[/latex] и [latex]S{ B }_{ 2 }{ B }_{ 5 }[/latex] пересекаются по прямой [latex]SQ[/latex]. Следовательно прямые  [latex]{ A }_{ 3 }{ B }_{ 6 },{ A }_{ 4 }{ B }_{ 1 }[/latex] и [latex]{ A }_{ 2 }{ A }_{ 5 }[/latex]  должны пересекаться в одной точке – точке пересечения прямой [latex]SQ[/latex] с плоскостью основания пирамиды.Значит диагональ правильного пятиугольника [latex]{ A }_{ 1 }…{ A }_{ 5 }[/latex] должна проходить через его центр [latex]O[/latex], что невозможно.
  2. 4

  3.  [latex] n=2k-1 (k>3) [/latex] Аналогично первому случаю показывается, что так как в правильном [latex]2k[/latex]-угольнике [latex] { B }_{ 1 }…{ B }_{ 2k }[/latex] прямые  [latex] { B }_{ 1 }{ B }_{ 2 },{ B }_{ k+1 }{ B }_{ k+2 }[/latex] и [latex]{ B }_{ k }{ B }_{ k+3 }[/latex]параллельны, то  прямые  [latex] { A }_{ 1 }{ A }_{ 2 },{ A }_{ k+1 }{ A }_{ k+2 }[/latex] и [latex]{ A }_{ k }{ A }_{ k+3 }[/latex] должны пересекаться в одной точке, что невозможно, так как в правильном [latex](2k-1)[/latex]-угольнике [latex]{ A }_{ 1 }…{ A }_{ 2k-1 }[/latex] имеем [latex]{ A }_{ k+1 }{ A }_{ k+2 }\parallel { A }_{ k }{ A }_{ k+3 }[/latex], а прямые [latex]{ A }_{ 1 }{ A }_{ 2 },{ A }_{ k+1 }{ A }_{ k+2 }[/latex] не параллельны.
  4.  [latex]n=2k (k>2) [/latex] Аналогично предыдущему случаю прямые [latex] { A }_{ 1 }{ A }_{ 2 },{ A }_{ k+1 }{ A }_{ k+2 }[/latex] и [latex]{ A }_{ k }{ A }_{ k+3 }[/latex]  параллельны, следовательно, прямые [latex] { B }_{ 1 }{ B }_{ 2 },{ B }_{ k+1 }{ B }_{ k+2 }[/latex] и [latex]{ B }_{ k }{ B }_{ k+3 }[/latex] должны пересекаться в одной точке, что невозможно, так как [latex]{ B }_{ k+1 }{ B }_{ k+2 }\parallel { B }_{ k }{ B }_{ k+3 }[/latex], а прямые [latex]{ A }_{ 1 }{ A }_{ 2 }, { A }_{ k+1 }{ A }_{ k+2 }[/latex]  не параллельны.

Замечания

  1.  При [latex]n=3,4[/latex] утверждение задачи неверно. Примерами могут служить правильный тетраэдр имеющий сечением квадрат и правильная четырехугольная  пирамида, все боковые грани которой являются правильными треугольниками, которая имеет сечением правильный пятиугольник
  2. Приведенное решение можно было бы изложить короче, если воспользоваться центральным проектированием и его свойством утверждающим, что при центральном проектировании образами прямых, проходящих через одну точку, являются прямые, проходящие через одну точку ( или параллельные). Достаточно спроектировать сечение пирамиды на плоскость из вершины пирамиды.

Д. Терешин.

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *