Признаки Абеля и Дирихле сходимости числовых рядов

Рассмотрим ряд:
$\sum\limits_{n=1}^{\infty}a_{n}b_{n}=a_{1}b_{1}+a_{2}b_{2}+…+a_{n}b_{n}+…$ $(1)$

где ${a_{n}}$ и ${b_{n}}$ — две последовательности вещественных чисел.

Следующие теоремы содержат достаточное условие сходимости ряда $(1)$.

Теорема (Признак Дирихле)

Ряд $(1)$ сходится, если выполнятся $2$ условия:

  1. Последовательность частичных сумм ряда $\sum\limits_{n=1}^{\infty}b_{n}$- ограничена, т.е $\exists$ $C > 0$ такое, что $|b_{1}+b_{2}+…+b_{n}| \leq C$, $\forall$ $n \in \mathbb{N}$.
  2. Последовательность ${a_{n}}$ монотонно стремится к нулю, т.е. $a_{n+1} \geq a_{n}$ $n \in \mathbb{N}$ или $a_{n+1} \leq a_{n}$ $n \in \mathbb{N}$ и $\lim\limits_{n \rightarrow \infty }a_{n} = 0$.

Доказательство

Покажем, что для ряда $\sum\limits_{n=1}^{\infty}a_{n}b_{n}$ выполняется условие Коши, т.е: $\forall$$\varepsilon>0$ $\exists$ $N_{\varepsilon}$: $\forall$$n\geq$$N_{\varepsilon}$,

$\forall$$p\epsilon$$N$$=>$ $|S_{n+p}-S_{n}|=$$|\sum\limits_{k=n+1}^{n+p}a_{k}b_{k}|<\varepsilon$

Пусть $A_{k}=a_{1}+a_{2}+…+a_{k}$, по условию $|A_{k}|<C$.

Используя преобразования Абеля, получим неравенства:

$|a_{n}b_{n}+a_{m+1}b_{m+1}+a_{m+2}b_{m+2}+…+a_{n-1}b_{n-1}+a_{n}b_{n}|=$
$=|b_{m}(A_{m}-A_{m-1})+b_{m+1}(A_{m+1}-A_{m})+b_{m+2}(A_{m+2}-A_{m+1})+…+b_{n-1}(A_{n-1}-A_{n-2})+b_{n}(A_{n}-A_{n-1})|=$
$=|-b_{m}A_{m-1}+(b_{m}-b_{m+1})A_{m}+(b_{m+1}-b_{m+2})A_{m+1}+…+(b_{n-1}-b_{n})A_{n-1}+b_{n}A_{n}|<$
$<b_{m}C+(b_{m}-b_{m-1})C+…+(b_{n-1}-b_{n})C+b_{n}C=2bmC<\varepsilon$, $m\geq$$n_{0}$; $|A_{k}|<C$

Следовательно, условия Коши выполнены, поэтому ряд сходится. $\blacksquare$

Спойлер

$\sum\limits_{n = 1}^{\infty}{\frac{\sin n\alpha }{n}}$.
Прежде всего, если $\alpha \neq 2\Pi m, m = 0, \pm 1, \pm 2, …$, то $\sum\limits_{ k = 1}^{n}{\sin k \alpha } = \sum\limits_{k = 1}^{n}{\frac{2\sin \frac{\alpha }{2}\sin k \alpha }{{2}\sin \frac{\alpha }{2}}} = \frac{\sum\limits_{k = 1}^{n}{\left[\cos k — \frac{1}{2} \alpha — \cos k + \frac{1}{2} \alpha\right]}}{2\sin \frac{\alpha }{2}} = \frac{\cos \frac{1}{2} \alpha — \cos n + \frac{1}{2} \alpha }{2\sin \frac{\alpha }{2}} = \frac{\sin \frac{n + 1}{2} \alpha \sin\frac{n}{2} \alpha }{ \sin \frac{\alpha }{2}}$ и следовательно, $\left|\sum\limits_{k = 1}^{n}{\sin k \alpha } \right|\leq \frac{1}{\left|\sin \frac{\alpha }{2} \right|}$. Если же $\alpha = 2\Pi m, m = 0, \pm 1, \pm 2, …$, то все члены сумм $\sum\limits_{k = 1}^{n}{\sin k \alpha }$ равны нулю, поэтому эти суммы при любом $n$ равны нулю и, следовательно , ограничены. Таким образом, при всех $\alpha$ суммы $\sum\limits_{k = 1}^{n}{\sin k \alpha }$ ограничены.

С другой стороны, последовательность $\frac{1}{n}$ монотонно убывает и стремится к нулю, поэтому, по признаку Дирихле, ряд $\sum\limits_{n = 1}^{\infty}{\frac{\sin n \alpha }{n}}$ сходится при любом $\alpha$.

Аналогично этому ряду исследуется ряд $\sum\limits_{n = 1}^{\infty}{\frac{\cos n \alpha }{n}}$. Так при $\alpha \neq 2\Pi m, m = 0, \pm 1, \pm 2, …$ справедливо равенство $\sum\limits_{ k = 1}^{n}{\cos k \alpha } = \frac{1}{2\sin \frac{\alpha }{2}}\sum\limits_{k = 1}^{n}{ 2\sin \frac{\alpha }{2} \cos k \alpha } = \frac{1}{2\sin \frac{\alpha }{2}}\sum\limits_{k = 1}^{n}{ \left[ \sin k + \frac{1}{2\alpha } — \sin k — \frac{1}{2} \alpha \right]} = \frac{\sin n + \frac{1}{2 }\alpha — \sin \frac{\alpha }{2}}{2 \sin \frac{\alpha }{2}} = \frac{\sin \frac{na}{2} \cos \frac{n + 1}{2} \alpha }{\sin \frac{\alpha }{2}}$, то для указанных $\alpha $ выполняется неравенство $\left|\sum\limits_{k = 1}^{n}{\cos k \alpha } \right|\leq \frac{1}{\left|\sin \frac{\alpha }{2} \right|}$ и, следовательно по принципу Дирихле , ряд $\sum\limits_{n = 1}^{\infty}{\frac{\cos n \alpha }{n}}$ сходится при всех $\alpha \neq 2\Pi m, m = 0, \pm 1, \pm 2, …$. Если же $\alpha = 2\Pi m, m = 0, \pm 1, \pm 2, …$, то ряд $\sum\limits_{n = 1}^{\infty}{\frac{\cos n \alpha }{n}}$ в отличие от ряда $\sum\limits_{n = 1}^{\infty}{\frac{\sin n \alpha }{n}}$ расходится, так как он превращается в гармонический ряд.

[свернуть]

Теорема (Признак Абеля)

Пусть дан ряд $(1)$. Он сходится, если выполняются $2$ условия:

  1. $\sum\limits_{n=1}^{\infty}b_{n}$- сходится.
  2. Числа {$a_{n}$} образуют монотонную и ограниченную последовательность, удовлетворяющую условиям $a_{n+1} \geq a_{n}$ или $a_{n+1} \leq a_{n}$ $n \in \mathbb{N}$.

Доказательство

По теореме о пределе монотонной ограниченной последовательности

$\exists$ $\lim\limits_{n\rightarrow\infty}a_{n}=a\Leftrightarrow$ $\lim_{n\rightarrow\infty}(a_{n}-a)=0\Rightarrow$ ${a_{n}-a}$- монотонно стремится к нулю.

Из сходимости $\sum\limits_{n=1}^{\infty}b_{n}\Rightarrow$ ${B_{n}}$- огр.
Тогда, по признаку Дирихле ряд: $\sum\limits_{n=1}^{\infty}(a_{n}-a)b_{n}$- сходится.
Отсюда следует, что $\sum\limits_{n=1}^{\infty}a_{n}b_{n}=\sum\limits_{n=1}^{\infty}(a_{n}-a)b_{n}+a\sum\limits_{n=1}^{\infty}b_{n}$- сходится, как сумма двух рядов.
Теорема доказана. $\blacksquare$

Спойлер

$\sum\limits_{n = 2}^{\infty}{\frac{\sin n \alpha \cos \frac{\Pi }{n}}{\ln \ln n}}$

Заметим, что ряд $\sum\limits_{n = 2}^{\infty}{\frac{\sin n \alpha }{\ln \ln n}}$ сходится согласно признаку Дирихле: Последовательность $\frac{1 }{\ln \ln n}$ монотонно стремится к нулю, а последовательность частичных сумм ряда $\sum\limits_{n = 2}^{\infty}{\sin n \alpha }$ ограничена.

Последовательность $\cos \frac{\Pi }{n}, n = 2,3 … $, монотонна, поэтому, по признаку Абеля, ряд $\sum\limits_{n = 2}^{\infty}{\frac{\sin n \alpha \cos \frac{\Pi }{n}}{\ln \ln n}}$ сходится при всех $\alpha $.

[свернуть]

Тест на тему: Признаки Абеля и Дирихле

Тест на тему: признаки Абеля и Дирихле.


Таблица лучших: Тест на тему: Признаки Абеля и Дирихле

максимум из 4 баллов
Место Имя Записано Баллы Результат
Таблица загружается
Нет данных

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *