Производная по направлению

Определение:

Пусть f(x, y, z) – действительная функция на открытом множестве G \subset  R^{n}, M(x, y, z) — внутренняя точка области G и \vec{u}=\left\{cos\alpha , cos\beta , cos\gamma \right\} – единичный фиксированный вектор из R^{n}. Найдется такое число t, что: x=x_{0}+tcos\alpha, y=y_{0}+tcos\beta, z=z_{0}+tcos\gamma. Если существует конечный предел

\lim\limits_{t\rightarrow 0}\frac{f(x_{0}+tcos\alpha, y_{0}+tcos\beta, z_{0}+tcos\gamma )-f(x_{0}, y_{0}, z_{0})}{t},

то его называют производной функции f(x, y, z) по направлению вектора \vec{u} и обозначают \frac{\delta f}{\delta u}(x_{0}).

231

Это скорость изменения функции в направлении \vec{u}.

При \alpha=0 получаем частную производную по x и т.д.

Теорема: О вычислении производной по направлению

Формулировка:

Пусть действительная функция f(x, y, z) на открытом множестве G \subset  R^{3} дифференцируема в точке M(x, y, z)\in G. Тогда в этой точке функция f имеет производные по направлению любого единичного вектора \vec{u}=\left\{cos\alpha , cos\beta , cos\gamma \right\}, причем справедливо равенство,

\frac{\delta f}{\delta \vec{u}}(x_{0}, y_{0}, z_{0})=\frac{\delta f}{\delta x}(x_{0}, y_{0}, z_{0})cos\alpha+\frac{\delta f}{\delta y}(x_{0}, y_{0}, z_{0})cos\beta +\frac{\delta f}{\delta z}(x_{0}, y_{0}, z_{0})cos\gamma.

Эта формула является следствием правила нахождения производной сложной функции.

Доказательство (По определению дифференцируемости):

f(x_{0}+h, y_{0}+h, z_{0}+h)-f(x_{0}, y_{0}, z_{0})=A(h)+o(\left|h \right|) (h\rightarrow 0),

где A = df(x_{0}, y_{0}, z_{0}). Пусть \vec{u} – единичный вектор. Положим h = t\vec{u} и, в силу линейности формы A, получим

f(x_{0}+tcos\alpha , y_{0}+tcos\beta , z_{0}+tcos\gamma )-f(x_{0}, y_{0}, z_{0})=tA(cos\alpha, cos\beta, cos\gamma)+o(t) (t\rightarrow 0).

Отсюда, разделив на t обе части, будем иметь

\lim\limits_{t\rightarrow 0}\frac{f(x_{0}+tcos\alpha, y_{0}+tcos\beta, z_{0}+tcos\gamma )-f(x_{0}, y_{0}, z_{0})}{t}=A(cos\alpha, cos\beta, cos\gamma),
что и требовалось доказать.

Спойлер

Найти производную функции $z(x,y)=3x^{2}y-4x^{2}y^{3}$ в точке $M(1,2)$ в направлении $\vec{l}(4, -3)$.
Находим частные производные
$\frac{\delta z}{\delta x}=6xy-8y^{3}x$
$\frac{\delta z}{\delta y}=3x^{2}-12y^{2}x^{2}$
Считаем эти производные в точке $M(1,2)$
$\frac{\delta z}{\delta x}(1,2)=12-64=-52$
$\frac{\delta z}{\delta y}(1,2)=3-48=-45$
Находим длину вектора
$\left|\vec{l} \right|=\sqrt{4^{2}+3^{2}}=5$
$\vec{l_{0}}=\left(\frac{4}{5}, -\frac{3}{5} \right)$
$\cos{\alpha }=\frac{4}{5}$, $\cos{\beta }=-\frac{3}{5}$
Находим производную по направлению в точке $M(1,2)$
$\frac{\delta z}{\delta l}(M_{0})=-52\cdot \frac{4}{5}+45\cdot \frac{3}{5}=-14.6$

[свернуть]

Литература



Тест:

Тест на тему: «Производная по направлению».

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *