Равномерная сходимость последовательностей и рядов

Функциональные последовательности

Если каждому натуральному числу [latex]n[/latex] ставится в соответствие по некоторому закону функция [latex]f_n(x)[/latex], определенная на множестве [latex]E[/latex], то говорят, что на множестве [latex]E[/latex] задана функциональная последовательность [latex]\left \{f_n (x)\right \}[/latex]. Множество [latex]E[/latex] называется областью определения последовательности [latex]\left \{f_n (x)\right \}[/latex].

Если для некоторого [latex]x_0 \in E[/latex] числовая последовательность [latex]\left \{f_n (x_0) \right \}[/latex] сходится, то говорят, что последовательность функций [latex]\left \{f_n (x) \right \}[/latex] сходится в точке [latex]x_0[/latex]. Последовательность функций, сходящуюся в каждой точке [latex]x \in E[/latex], называют сходящейся на множестве [latex]E[/latex].

Если [latex]\underset {n \to \infty}{\lim} f_n(x) = f(x)[/latex] для всех [latex]x \in E[/latex], то говорят, что последовательность [latex]\left \{f_n (x) \right \}[/latex] на множестве [latex]E[/latex] сходится к функции [latex]f(x)[/latex]. Эту функцию называют предельной функцией последовательности.

Равномерная сходимость функциональных последовательностей

Пусть задана последовательность функций [latex]\left \{ f_n(x) \right \}[/latex] и предельная функция [latex]f(x)[/latex]. Говорят, что последовательность функций равномерно сходится на множестве [latex]E[/latex] к функции [latex]f(x)[/latex] если
$$\forall \varepsilon >0 \quad \exists n_{ \varepsilon }\in \mathbb{N}: \forall n \ge n_\varepsilon \ \forall x \in E \Rightarrow \left|f_n(x)-f(x) \right| < \varepsilon .$$
Последовательность [latex]\left \{ f_n(x) \right \}[/latex] называется равномерно сходящейся на [latex]E[/latex], если существует функция [latex]f(x)[/latex], к которой она равномерно сходится.

Спойлер

Рассмотрим последовательность [latex]\left \{f_n(x) \right \}[/latex], [latex]f_n(x) = \frac{1}{n}x^n[/latex] на отрезке [latex]\left [ 0;1 \right ][/latex]. Она равномерно сходится на этом отрезке.

thirdtopic

Действительно, так как [latex]0 < \frac{1}{n}x^n < \frac{1}{n}[/latex] и [latex]\underset{n \to \infty}{\lim} \frac{1}{n} = 0[/latex], то для любой точности [latex]\varepsilon > 0[/latex] мы можем выбрать номер [latex] n_\varepsilon = \left \lceil \frac{1}{\varepsilon } \right \rceil + 1[/latex], начиная с которого все последующие члены ряда будут меньше [latex]\varepsilon[/latex], [latex]\left | f_n(x) \right | < \varepsilon[/latex]. Значит последовательность сходится равномерно к нулю на [latex]\left [ 0;1 \right ][/latex].

[свернуть]

Функциональные ряды

Аналогично вводим понятие функциональных рядов. Пусть каждому натуральному числу [latex]n[/latex] ставится в соответствие по некоторому закону функция [latex]u_n(x)[/latex], определенная на множестве [latex]E[/latex]. Формально говоря нам дана функциональная последовательность [latex]\left \{ u_n(x) \right \}[/latex].

Выражение вида [latex]u_{ 1 }(x)+u_2(x) +\dots +u_n(x) +\dots =\overset{\infty}{\underset{n=1}{\sum}}u_n(x)[/latex] называется функциональным рядом. Если для некоторого [latex]x_0 \in E[/latex] числовой ряд [latex]\sum_{n=1}^{\infty} u_n(x_0)[/latex] сходится, то говорят, что функциональный ряд [latex]\sum_{n=1}^{\infty} u_n(x)[/latex] сходится в точке [latex]x_0[/latex]. Функциональный ряд, сходящийся в каждой точке [latex]x \in E[/latex], называют сходящимся на множестве [latex]E[/latex].

Сумма [latex]n[/latex] первых членов ряда [latex]S_n(x) = \overset{n}{\underset{k=1}{\sum}}u_k(x)[/latex] называется его частичной суммой. Заметим, что частичная сумма сама является функцией. Мы получаем функциональную последовательность [latex]\left \{ S_n(x) \right \}[/latex].

Спойлер

Изучим сходимость ряда
$$x^2 + \frac{x^2}{1+x^2} + \dots + \frac{x^2}{(1+x^2)^n} + \dots,$$
Где [latex]x[/latex] — действительное число. Этот ряд сходится при всех [latex]x[/latex]. При [latex]x \neq 0[/latex] мы имеем бесконечно убывающую геометрическую прогрессию со знаменателем [latex]q = \frac{1}{1+x^2}[/latex], [latex] 0 < q < 1[/latex]. Таким образом:
$$x^2 + \frac{x^2}{1+x^2} + \dots + \frac{x^2}{(1+x^2)^n} + \dots = \frac{x^2}{1-\frac{1}{1+x^2}} = 1 + x^2 .$$
При [latex]x = 0[/latex] каждый член ряда равен нулю и тогда сумма всего ряда равна нулю.

[свернуть]

Равномерная сходимость функциональных рядов

Пусть задан функциональный ряд [latex]\overset{\infty}{\underset{n=1}{\sum}}u_n(x)[/latex], члены которого являются функциями, определенными на множестве [latex]E[/latex]. Функциональный ряд называется равномерно сходящимся на множестве [latex]E[/latex], если последовательность его частичных сумм равномерно сходящаяся на множестве [latex]E[/latex]. Согласно определению равномерной сходимости последовательности функции, существует такая функция [latex]S(x)[/latex], что
$$\forall \varepsilon >0 \quad \exists n_{ \varepsilon }\in \mathbb{N}: \forall n \ge n_\varepsilon \ \forall x \in E \Rightarrow \left|S_n(x)-S(x) \right| < \varepsilon .$$
Обозначим [latex]S_n(x)-S(x)=r_n(x)[/latex] — [latex]n[/latex]-ый остаток ряда, получаем [latex]r_n(x) = \overset{\infty}{\underset{k=n+1}{\sum}}u_k(x)[/latex]. Тогда условие сходимости ряда примет вид: $$\forall \varepsilon >0 \quad \exists n_{ \varepsilon }\in \mathbb{N}: \forall n \ge n_\varepsilon \ \forall x \in E \Rightarrow \left|r_n(x)\right| < \varepsilon .$$
Это означает, что какое бы мы маленькое [latex]\varepsilon[/latex] не взяли, начиная с некоторого номера [latex]n[/latex], [latex]n[/latex]-ый остаток ряда будет меньше этого [latex]\varepsilon[/latex].

Необходимое условие равномерной сходимости функционального ряда

Теорема

Если функциональный ряд [latex]\overset{\infty}{\underset{n=1}{\sum}}u_n(x)[/latex] равномерно сходится на множестве [latex]E[/latex], то последовательность его членов [latex]\left \{ u_n(x) \right \}[/latex] равномерно стремится к нулю на множестве [latex]E[/latex].

Доказательство

Обозначим частичные суммы ряда как [latex]S_n(x)[/latex], а сумму ряда (предельную функцию последовательности частичных сумм) как [latex]S(x)[/latex]. Согласно определению равномерной сходимости ряда
$$\forall \varepsilon >0 \quad \exists n_{ \varepsilon }\in \mathbb{N}: \forall n \ge n_\varepsilon \ \forall x \in E \Rightarrow \left|S_n(x)-S(x) \right| < \frac{\varepsilon}{2} ,$$
поэтому для [latex]\forall n \ge n_\varepsilon[/latex] справедливо также неравенство
$$\left| u_{ n+1 }(x) \right| =\left| S_{ n+1 }(x)-S_{ n }(x) \right| =\left| \left[ S_{n+1}(x)-S(x) \right] + \left[S(x) — S_n(x) \right] \right| < \frac{\varepsilon}{2} + \frac{\varepsilon}{2} = \varepsilon .$$
А это и означает равномерную сходимость к нулю последовательности [latex]\left \{ u_n(x) \right \}[/latex].

Список Литературы

Равномерная сходимость последовательностей и рядов

После прочтения статьи, для закрепления материала, рекомендуется пройти тест по данной теме


Таблица лучших: Равномерная сходимость последовательностей и рядов

максимум из 60 баллов
Место Имя Записано Баллы Результат
Таблица загружается
Нет данных

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *