М1618. О векторах и правильных многоугольниках

Задача из журнала «Квант» (1997, №6)

Условие

В вершины правильного n-угольника из его центра проведены n векторов из них выбраны несколько (не все), сумма которых равна нулю.Докажите, что концы некоторой части выбранной совокупности векторов образуют правильный многоугольник (две симметричные относительно центра точки считаются правильным «двуугольником»), если :

  1.  [latex]n = 6[/latex];
  2.  [latex]n = 8[/latex];
  3.  [latex]n = 9[/latex];
  4. [latex]n = 12[/latex].
  5. Будет ли аналогичное утверждение, верным при любом [latex]n[/latex]?

Автор задачи: В. Сендеров.

Решение

Ответ на общий вопрос 5) отрицательный. Приведем пример для [latex]n = 30[/latex], т.е. укажем «неправильную» систему векторов, ведущих из центра [latex]O = (0; 0)[/latex] в некоторые вершины тридцатиугольника, сумма которых равана нулю, среди среди которых нет k векторов, ведущих в вершины правильного k-угольника при [latex]k = 2, 3[/latex] и [latex]5[/latex] (а тем самым и при любом k, не превосходящем 30).
Пусть [latex]A(1; 0)[/latex] — одна из вершин тридцатиугольника, тогда [latex]B(-1; 0)[/latex] — противоположная вершина. Направим векторы в вершины правильного пятиугольника, одна из которых [latex]A[/latex], и в вершины правильного треугольника, одна из которых [latex]B[/latex], а затем удалим векторы [latex]\underset{OA}{\rightarrow}[/latex], [latex]\underset{OB}{\rightarrow}[/latex] (они дают в сумме нуль). Оставшиеся шесть векторов (см. рисунок) составляют нужную систему.
my_english_is_not_horoshii
Разумеется, здесь (и ниже) вы используем тот факт, что сумма k векторов, ведущих в вершины правильного k-угольника из его центра, равна нулю; это следует, например, из того, что сумма не меняется при повороте всей картины вокруг центра на угол [latex]\frac {2\pi}{k}[/latex]. Заметим, что для проекций векторов, один из которых имеет координаты [latex](0; 1)[/latex], этот факт по существу эквивалентен тождеству
$$1 + \cos \frac{2\pi}{k} + \cos \frac{4\pi}{k} + … + \cos \frac{2(k-1)\pi}{k} = 0$$
(для четного [latex]k[/latex] оно очевидно, для любого [latex]k[/latex] легко доказывается после умножения на [latex]\sin \frac{\pi}{k}[/latex] ). Аналогично, в примере на рисунке можно провести доказательство прямым подсчетом: чтобы убедиться, что сумма векторов равна нулю, нужно проверить тождество [latex]\cos \frac{2\pi}{5} + \cos \frac{4\pi}{5} = -\cos \frac{\pi}{3} = -\frac{1}{2}[/latex] (здесь удобно домножить левую часть на [latex]\sin \frac{\pi}{5}[/latex]).
<p>Перейдем теперь к отрицательным результатам 1) — 4), показывающим, что для малых n такой пример не построить. Сформулируем простую лемму. Пусть [latex]\underset{OA}{\rightarrow}[/latex], [latex]\underset{OB}{\rightarrow}[/latex], [latex]\underset{OC}{\rightarrow}[/latex] и [latex]\underset{OD}{\rightarrow}[/latex] — различные единичные векторы. Тогда:

  1. если [latex]\underset{OA}{\rightarrow} + \underset{OB}{\rightarrow} + \underset{OC}{\rightarrow} = \underset{0}{\rightarrow}[/latex], то [latex]A[/latex], [latex]B[/latex], [latex]C[/latex] — вершины правильного треугольника;
  2.  если [latex]\underset{OA}{\rightarrow} + \underset{OB}{\rightarrow} + \underset{OC}{\rightarrow} + \underset{OD}{\rightarrow} = \underset{0}{\rightarrow}[/latex], то векторы разбиваются на две пары взаимно противоположных (т.е. [latex]A[/latex], [latex]B[/latex], [latex]C[/latex], [latex]D[/latex] являются вершинами прямоугольника).

Докажем 2. Пусть точки [latex]A[/latex], [latex]B[/latex], [latex]C[/latex], [latex]D[/latex] лежат на окружности в указанном порядке. Тогда из равенства
[latex]\frac{\underset{OA}{\rightarrow} + \underset{OB}{\rightarrow}}{2} + \frac{\underset{OC}{\rightarrow} + \underset{OD}{\rightarrow}}{2} = \underset{0}{\rightarrow}[/latex] следует, что середины хорд [latex]AB[/latex] и [latex]CD[/latex] равноудалены от [latex]O[/latex], откуда [latex]AB = CD[/latex]; аналогично, [latex]BC = DA[/latex], так что [latex]ABCD[/latex] — вписанный параллелограмм, т.е. прямоугольник. Доказательство 1 еще проще: из равенств вида [latex]\frac{\underset{OB}{\rightarrow} + \underset{OC}{\rightarrow}}{2} = -\frac{\underset{OA}{\rightarrow}}{2}[/latex] ясно, что середины хорд [latex]BC[/latex], [latex]CA[/latex] и [latex]AB[/latex] равноудалены от точки [latex]O[/latex]. Значит, [latex]BC = CA = AB[/latex].
При [latex]n <= 9[/latex] в системе векторов, о которой идет речь в задаче, либо в дополняющей ее до [latex]n[/latex] системе не более четырех векторов. По лемме, эту систему можно разбить на правильные k-угольники ([latex]k = 2[/latex] или [latex]k = 3[/latex]).
Значит, этим же свойством обладает и дополнительная система вершин.
Тем самым, пункты 1) — 3) задачи решены.
В пункте 4) можно рассуждать так. Пусть система содержит вектор [latex](1; 0)[/latex] и не содержит противоположный вектор [latex](-1; 0)[/latex]. Докажем, что тогда она содержит и векторы [latex](\cos \frac{2\pi}{3}; \pm \sin {2\pi}{3})[/latex].
В самом деле, среди наших 10 векторов (не считая [latex](1; 0)[/latex] и противоположного) три пары дают в проекции на ось [latex]Ox[/latex] рациональные числа
$$\cos (\pm \frac{\pi}{3}) = \frac {1}{2}, \cos (\pm \frac {2\pi}{3}) = — \frac {1}{2}, \cos (\pm \frac {\pi}{2}) = 0$$,
две пары — иррациональные числа; ясно, что получить в сумме из этих чисел нужную минус единицу можно, лишь используя две [latex](-1/2)[/latex].
Используя результаты статьи «Многочлены деления круга» («Квант» №1, 1998), нетрудно доказать, что при [latex]n = p[/latex] и [latex]n = 2p[/latex], где [latex]p[/latex] — простое число, нетривиальных систем векторов с суммой нуль не существует, а при любом [latex]n[/latex], имеющем не менее трех разных простых множителей, такая система существует.
Один из способов построения нужных примеров — использование корней многочленов деления круга с коэффициентами [latex]+1[/latex] и [latex]-1[/latex]; например, равенство многочлена [latex]{\Phi}_{15}(\xi) = 0[/latex], где [latex]\xi[/latex] — один из корней [latex]{\Phi}_{15}[/latex], дает пример «неправильной семерки» векторов. Оно же позволяет получить такую же шестерку векторов, как на рисунке.
Однако остается немало вопросов, связанных с этой задачей.
Например, существует ли пример для [latex]n = 15[/latex] (из сказанного выше следует, что для [latex]n < 15[/latex] его нет), для [latex]n[/latex] вида [latex]{p}^{a}[/latex] и [latex]{p}^{a} * {q}^{b}[/latex], где p и q простые? Существует ли для некоторого [latex]n[/latex] неправильная система из 5 векторов , идущих в вершины правильного n-угольника, суммой нуль (не содержащая меньших правильных подсистем)? Возможно ли система, которую, в отличие от построенных выше примеров, нельзя получить не только как «сумму», но и как «алгебраическую сумму» (т.е. «сложением» и «вычитанием») правильных подсистем?

Авторы решения: Н. Васильев, В. Сендеров.

М1618. О векторах и правильных многоугольниках: 4 комментария

  1. — «общий вопрос д)» нет такого вопроса. Нужно согласовать нумерацию.
    — Зачем звездочка в ссылке 1618*?
    — Риски на циферблате, стрелки — все чудовищно кривое. Такое ощущение, что Вы не рассчитывали координаты, а рисовали их от руки. Даже корявее чем растрт из Кванта 18-летней давности. Нужно переделать
    — Где по высоте должны быть знаки равенства?
    В моем детстве за такое качество работы дразнили «Кирпич на кирпич, гони бабка магарыч!» Фу.

    1. Но вы же сами сказали рисовать все от руки. Я думал рассчитать все программно, и потом просто ввести координаты, но вы же сказали, что если вы увидете координаты по типу «45.23045» сразу решите что svg было сделано не в ручную, а через специальные программы. Поэтому пришлось делать от руки. Иными словами все нужно сделать программно, а не от руки?

    2. Исправил все кроме третьего. Сейчас напишу программу для третьего и обновлю.

  2. Вы действительно не понимаете или просто считаете полезным для меня поучаствовать в дискуссии? «От руки» это с использованием мышки и графического редактора? Если так, то Вы меня поняли с точностью до наоборот. Выполняйте любые расчеты и делайте так, чтобы все было как следует.
    Знаки равенства на уровне знака вектора все еще не исправил.

Добавить комментарий для Денис Куленюк Отменить ответ

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *