Определение стационарной точки(для функции многих переменных)
В терминах частных производных
Стационарными называются точки, в которых частные производные первого порядка все обращаются в нуль.
[latex] \left.\begin{matrix}\\{f_{x_{1}}}’\left(x_{1},x_{2},…,x_{n}\right)=0\\{f_{x_{2}}}’\left(x_{1},x_{2},…,x_{n}\right)=0\\…………………….\\{f_{x_{n}}}’\left(x_{1},x_{2},…,x_{n}\right)=0\end{matrix}\right\}[/latex]
В терминах дифференциалов
Если функция [latex]f\left(x\right)[/latex] дифференцируема в точке [latex]x^{0}[/latex] и [latex]df\left(x^{0}\right)=0[/latex], то точка [latex]x^{0}[/latex] называется стационарной точкой функции [latex]f\left(x\right)[/latex].
Точка экстремума дифференцируемой функции в силу необходимых условий экстремума будет стационарной точкой. Обратное утверждение не верно. Стационарная точка может не быть точкой экстремума.
Функции, достигающие стационарную точку не в экстремуме
Пример
Показать, что [latex]\left(0,0\right)[/latex] является стационарной точкой функции [latex]f\left(x,y\right)=xy[/latex], но [latex]\left(0,0\right)[/latex] не есть точка экстремума этой функции.
График функции [latex]z=xy[/latex].
Так как [latex]df\left(x,y\right)=ydx+xdy[/latex], то [latex]df\left(0,0\right)=0[/latex] и [latex]\left(0,0\right)[/latex] есть стационарная точка функции [latex]f\left(x,y\right)[/latex]. Но для любого [latex]\delta>0[/latex] точки [latex]\left(\delta,\delta,\right)[/latex] и [latex]\left(\delta,-\delta,\right)[/latex] лежат в круге [latex]S_{2\delta}\left(0,0\right)[/latex] и
[latex]f\left(\delta,\delta\right)=\delta^{2}>f\left(0,0\right)=0[/latex],
[latex]f\left(\delta,-\delta\right)=-\delta^{2}<f\left(0,0\right)=0[/latex].
Поэтому [latex]\left(0,0\right)[/latex] не есть точка экстремума функции [latex]f\left(x,y\right)[/latex].
Литература
- Г.М.Фихтенгольц, «Курс дифференциального и интегрального исчисления», Том 1, стр.418-419
- Тер-Крикоров и Шабунин, «Курс математического анализа», стр.557-571
- В.И.Коляда, А.А.Кореновский ,»Курс лекций по математическому анализу», Часть 1, стр.297-301
Определение стационарной точки. Пример функции, не достигающей экстремума в стационараной точке
После прочтения статьи, для закрепления материала, рекомендуется пройти тест по данной теме
Таблица лучших: Определение стационарной точки. Пример функции, не достигающей экстремума в стационараной точке
Место | Имя | Записано | Баллы | Результат |
---|---|---|---|---|
Таблица загружается |
— Тестов нет.
— Установите размер рисунка так, чтобы не было так много пустого пространства в нижней части.
— Указано «Функции, достигающие экстремум НЕ в стационарной точке», а в примере стационарная точка НЕ экстремум. Это ведь разные вещи?