Определение стационарной точки. Пример функции, не достигающей экстремума в стационараной точке

Определение стационарной точки(для функции многих переменных)

В терминах частных производных

Стационарными называются точки, в которых частные производные первого порядка все обращаются в нуль.
[latex] \left.\begin{matrix}\\{f_{x_{1}}}’\left(x_{1},x_{2},…,x_{n}\right)=0\\{f_{x_{2}}}’\left(x_{1},x_{2},…,x_{n}\right)=0\\…………………….\\{f_{x_{n}}}’\left(x_{1},x_{2},…,x_{n}\right)=0\end{matrix}\right\}[/latex]

В терминах дифференциалов

Если функция [latex]f\left(x\right)[/latex] дифференцируема в точке [latex]x^{0}[/latex] и [latex]df\left(x^{0}\right)=0[/latex], то точка [latex]x^{0}[/latex] называется стационарной точкой функции [latex]f\left(x\right)[/latex].

Точка экстремума дифференцируемой функции в силу необходимых условий экстремума будет стационарной точкой. Обратное утверждение не верно. Стационарная точка может не быть точкой экстремума.

Функции, достигающие стационарную точку не в экстремуме

Пример

Показать, что [latex]\left(0,0\right)[/latex] является стационарной точкой функции [latex]f\left(x,y\right)=xy[/latex], но [latex]\left(0,0\right)[/latex] не есть точка экстремума этой функции.

График функции [latex]z=xy[/latex].

1234

Так как [latex]df\left(x,y\right)=ydx+xdy[/latex], то [latex]df\left(0,0\right)=0[/latex] и [latex]\left(0,0\right)[/latex] есть стационарная точка функции [latex]f\left(x,y\right)[/latex]. Но для любого [latex]\delta>0[/latex] точки [latex]\left(\delta,\delta,\right)[/latex] и [latex]\left(\delta,-\delta,\right)[/latex] лежат в круге [latex]S_{2\delta}\left(0,0\right)[/latex] и

[latex]f\left(\delta,\delta\right)=\delta^{2}>f\left(0,0\right)=0[/latex],

[latex]f\left(\delta,-\delta\right)=-\delta^{2}<f\left(0,0\right)=0[/latex].

Поэтому [latex]\left(0,0\right)[/latex] не есть точка экстремума функции [latex]f\left(x,y\right)[/latex].

Литература

Определение стационарной точки. Пример функции, не достигающей экстремума в стационараной точке

После прочтения статьи, для закрепления материала, рекомендуется пройти тест по данной теме


Таблица лучших: Определение стационарной точки. Пример функции, не достигающей экстремума в стационараной точке

максимум из 3 баллов
Место Имя Записано Баллы Результат
Таблица загружается
Нет данных

Определение стационарной точки. Пример функции, не достигающей экстремума в стационараной точке: 1 комментарий

  1. — Тестов нет.
    — Установите размер рисунка так, чтобы не было так много пустого пространства в нижней части.
    — Указано «Функции, достигающие экстремум НЕ в стационарной точке», а в примере стационарная точка НЕ экстремум. Это ведь разные вещи?

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *