Радиус сходимости степенного ряда.
Радиусом сходимости степенного ряда называют радиус круга сходимости степенного ряда [latex]\sum\limits_{n=0}^{\infty}a_{n}z^{n}[/latex] на комплексной плоскости (или степенного ряда [latex]\sum\limits_{n=0}^{\infty}a_{n}x^{n}[/latex] на действительной числовой оси), то есть такое число [latex]r[/latex], что ряд сходится при любых[latex]\mid z\mid[/latex]<[latex]r[/latex] (соответственно при [latex]\mid x\mid[/latex]<[latex]r[/latex] ) и расходится при [latex]\mid z\mid[/latex]>[latex]r[/latex] (соответственно при [latex]\mid x\mid[/latex]>[latex]r[/latex] ). На границе же круга сходимости ситуация неопределенная, так как ряд может как сходиться, так и расходиться. Если же ряд сходится на всей числовой прямой [latex]R[/latex], то мы можем утверждать, что [latex]R=\infty[/latex].
В точках [latex]x=\pm R[/latex] общего утверждения о сходимости сделать нельзя (то есть бывают ряды, сходящиеся в обеих этих точках, бывают – сходящиеся лишь в одной из них, бывают – расходящиеся в обеих точках).
Существование радиуса сходимости.
Для всякого степенного ряда вида [latex]\sum\limits_{0}^{\infty}c_{n}z^{n}[/latex] [latex]\exists R[/latex]
[latex]\left ( R\geq 0 \right )[/latex], либо [latex]\left ( R=+\infty\right )[/latex]:
a) если [latex]R\neq 0[/latex] и [latex]R\neq+\infty[/latex], то ряд сходится в круге
[latex]K=\left \{ z \right.[/latex] : [latex]\left.\mid z\mid <R\mid\right \}[/latex] и расходится вне круга [latex]K[/latex].
б) если [latex]R=0[/latex], то ряд сходится только в одной точке [latex]z=0[/latex].
в) если [latex]R=+\infty[/latex], то ряд сходится во всей комплексной плоскости.
Доказательство:
Пусть [latex]D[/latex] — множество всех точек сходимости ряда (то есть область сходимости).
[latex]D\neq 0[/latex]
Если [latex]D[/latex] — неограниченное, то ряд сходится в любой точке комплексной плоскости.
[latex]\forall\widetilde{z}\in\mathbb{C}\quad\exists z_{0}\in D[/latex]: [latex]\mid z_{0}\mid[/latex]>[latex]\mid\widetilde{z}\mid[/latex] тогда по теореме Абеля ряд сходится в [latex]\widetilde{z}[/latex]
[latex]\left ( R = + \infty \right )[/latex].
Пусть [latex]D[/latex] — ограниченное. Если [latex]D[/latex] одноточечное множество, то ряд сходится при [latex]z_{0}=0[/latex] и расходится [latex]\forall z\neq 0[/latex]. Если [latex]D[/latex] содержит хотя-бы 1 точку отличную от 0, то [latex]R=\sup\limits_{z\in D}\mid z\mid[/latex]
[latex]\sum\limits_{n=0}^{\infty}c_{n}z^{n}[/latex] — сходится,
[latex]K=\left \{ z\right.[/latex]: [latex]\mid z\mid[/latex]<[latex]\left. R\mid\right \}[/latex]
[latex]\widetilde{z}\in K\Rightarrow\mid\widetilde{z}\mid[/latex]<[latex]R[/latex]
По ограниченности [latex]sup\quad\exists z_{1}\in D:\mid\widetilde{z}\mid[/latex]<[latex]\mid z_{1}\mid[/latex]<[latex]R[/latex].
[latex]\left ( \sum\limits_{n=0}^{\infty } c_{n}r_{1}^{n}<\infty \right )\Rightarrow\sum\limits_{n=0}^{\infty }c_{n}\widetilde{z}^{n}<\infty [/latex] сходится. Пусть теперь [latex]{z}’\in K\left ( \mid{z}’\mid >R \right )\Rightarrow {z}’\notin D[/latex], то есть ряд расходится в точке [latex]{z}'[/latex]. На границе круга сходимости ряд может как сходится так и расходится.
Теорема Абеля
Если степенной ряд [latex]\sum\limits_{n=0 }^{\infty }c_{n}z^{n}[/latex] сходится в точке при [latex]z=z_{0}\neq 0[/latex], то он сходится абсолютно при любом z таком, что [latex]\mid z\mid <\mid z_{0}\mid[/latex], а если этот ряд расходится в точке [latex]z=z_{1}[/latex], то он будет расходится [latex]\forall z: \mid z\mid >\mid z_{1}\mid[/latex].
a)
Источники
Первая теорема Абеля
Тест для закрепления материала.
Таблица лучших: Первая теорема Абеля
Место | Имя | Записано | Баллы | Результат |
---|---|---|---|---|
Таблица загружается |