Радиус сходимости степенного ряда. Первая теорема Абеля.

Радиус сходимости степенного ряда.

Радиусом сходимости степенного ряда называют радиус круга сходимости степенного ряда [latex]\sum\limits_{n=0}^{\infty}a_{n}z^{n}[/latex] на комплексной плоскости (или степенного ряда [latex]\sum\limits_{n=0}^{\infty}a_{n}x^{n}[/latex] на действительной числовой оси), то есть такое число [latex]r[/latex], что ряд сходится при любых[latex]\mid z\mid[/latex]<[latex]r[/latex] (соответственно при [latex]\mid x\mid[/latex]<[latex]r[/latex] ) и расходится при [latex]\mid z\mid[/latex]>[latex]r[/latex] (соответственно при [latex]\mid x\mid[/latex]>[latex]r[/latex] ). На границе же круга сходимости ситуация неопределенная, так как ряд может как сходиться, так и расходиться.  Если же ряд сходится на всей числовой прямой [latex]R[/latex],  то мы можем утверждать, что [latex]R=\infty[/latex].
В точках [latex]x=\pm R[/latex] общего утверждения о сходимости сделать нельзя (то есть бывают ряды, сходящиеся в обеих этих точках, бывают – сходящиеся лишь в одной из них, бывают – расходящиеся в обеих точках).

Существование радиуса сходимости.

 

Для всякого степенного ряда вида [latex]\sum\limits_{0}^{\infty}c_{n}z^{n}[/latex] [latex]\exists R[/latex]

[latex]\left ( R\geq 0 \right )[/latex], либо [latex]\left ( R=+\infty\right )[/latex]:

a) если [latex]R\neq 0[/latex] и [latex]R\neq+\infty[/latex], то ряд сходится в круге
[latex]K=\left \{ z \right.[/latex] : [latex]\left.\mid z\mid <R\mid\right \}[/latex] и расходится вне круга [latex]K[/latex].

б) если [latex]R=0[/latex], то ряд сходится только в одной точке [latex]z=0[/latex].

в) если [latex]R=+\infty[/latex], то ряд сходится во всей комплексной плоскости.

Доказательство:

Пусть [latex]D[/latex] — множество всех точек сходимости ряда (то есть область сходимости).

[latex]D\neq 0[/latex]

Если [latex]D[/latex] — неограниченное, то ряд сходится в любой точке комплексной плоскости.

[latex]\forall\widetilde{z}\in\mathbb{C}\quad\exists z_{0}\in D[/latex]: [latex]\mid z_{0}\mid[/latex]>[latex]\mid\widetilde{z}\mid[/latex] тогда по теореме Абеля ряд сходится в [latex]\widetilde{z}[/latex]
[latex]\left ( R = + \infty \right )[/latex].

Пусть [latex]D[/latex] — ограниченное. Если [latex]D[/latex] одноточечное множество, то ряд сходится при [latex]z_{0}=0[/latex] и расходится  [latex]\forall z\neq 0[/latex]. Если  [latex]D[/latex] содержит хотя-бы 1 точку отличную от 0, то [latex]R=\sup\limits_{z\in D}\mid z\mid[/latex]

[latex]\sum\limits_{n=0}^{\infty}c_{n}z^{n}[/latex] — сходится,

[latex]K=\left \{ z\right.[/latex]: [latex]\mid z\mid[/latex]<[latex]\left. R\mid\right \}[/latex]

[latex]\widetilde{z}\in K\Rightarrow\mid\widetilde{z}\mid[/latex]<[latex]R[/latex]

По ограниченности [latex]sup\quad\exists z_{1}\in D:\mid\widetilde{z}\mid[/latex]<[latex]\mid z_{1}\mid[/latex]<[latex]R[/latex].

[latex]\left ( \sum\limits_{n=0}^{\infty } c_{n}r_{1}^{n}<\infty \right )\Rightarrow\sum\limits_{n=0}^{\infty }c_{n}\widetilde{z}^{n}<\infty [/latex] сходится. Пусть теперь [latex]{z}’\in K\left ( \mid{z}’\mid >R \right )\Rightarrow {z}’\notin D[/latex], то есть ряд расходится в точке [latex]{z}'[/latex]. На границе круга сходимости ряд может как сходится так и расходится.

Спойлер

666

[свернуть]

Теорема Абеля

Если степенной ряд [latex]\sum\limits_{n=0 }^{\infty }c_{n}z^{n}[/latex] сходится в точке при [latex]z=z_{0}\neq 0[/latex], то он сходится абсолютно при любом z таком, что [latex]\mid z\mid <\mid z_{0}\mid[/latex], а если этот ряд расходится в точке [latex]z=z_{1}[/latex], то он будет расходится [latex]\forall z: \mid z\mid >\mid z_{1}\mid[/latex].

Спойлер

a)

Возьмем [latex]K_{0}=\left \{ z \right.[/latex]: [latex]\mid z\mid[/latex]<[latex]\left. \mid z_{0}\mid\right \}[/latex]
Пусть [latex]q=\mid\frac{z}{z_{0}}\mid<1[/latex]
Так как [latex]\sum\limits_{0}^{\infty}c_{n}z^{n}[/latex] — сходится в точке [latex]z_{0}[/latex], то есть
[latex]\sum\limits_{0}^{\infty}c_{n}z_{0}^{n}[/latex]<[latex]\infty[/latex], то можно утверждать, что [latex]\lim\limits_{n\rightarrow\infty}c_{n}z^{n}=0[/latex], то есть [latex]\left \{ c_{n}z^{n} \right \}[/latex] — ограничена: [latex]\exists M[/latex]:[latex]\forall n\in N[/latex]:[latex]\mid c_{n}z_{0}^{n}\mid\leq M[/latex]
[latex]\mid c_{n}z^{n}\mid=\mid\left ( c_{n}z_{0}^{n} \right )[/latex][latex]\left ( \frac{z^{n}}{z_{0}^{n}} \right )[/latex][latex]\mid[/latex]=[latex]\mid c_{n}z_{0}^{n}\mid[/latex][latex]\mid\frac{z}{z_{0}}\mid^{n}\leq M q^{n}\leq M[/latex]
Получили, что [latex]\sum\limits_{0}^{\infty}Mq^{n}[/latex] — сходится.
Значит по признаку сравнения ряд [latex]\sum\limits_{0}^{\infty}\mid c_{n}z^{n}\mid[/latex] — сходится абсолютно [latex]\forall z\in K_{0}[/latex].
б) Пусть [latex]\sum\limits_{0}^{\infty}c_{n}z^{n}[/latex] расходится в точке [latex]z_{1}[/latex].
Тогда он расходится [latex]\forall\mid\tilde{z}\mid[/latex]>[latex]z_{1}[/latex], так как в противном случае, если бы ряд сходился в точке [latex]\tilde{z}[/latex], то по а) он должен был бы сходится и в точке [latex]z_{1}[/latex].
Теорема доказана.

[свернуть]

Первая теорема Абеля

Тест для закрепления материала.


Таблица лучших: Первая теорема Абеля

максимум из 4 баллов
Место Имя Записано Баллы Результат
Таблица загружается
Нет данных

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *