Сторона и ориентация поверхности. Односторонние и двусторонние поверхности. Край поверхности.

Определим понятие стороны поверхности. Выберем на гладкой поверхности (замкнутой или ограниченной гладким контуром) точку [latex]M_{0}[/latex] и проведем в ней нормаль к поверхности, выбрав для нее определенное направление (одно из двух возможных). Проведем по поверхности замкнутый контур, начинающийся и заканчивающийся в точке [latex]M_{0}[/latex]. Рассмотрим точку [latex]M[/latex], обходящую этот контур, и в каждом из ее положений проведем нормаль того направления, в которое непрерывно переходит нормаль из предыдущей точки. Если после обхода контура нормаль вернется в точке [latex]M_{0}[/latex] в первоначальное положение при любом выборе точки [latex]M_{0}[/latex] на поверхности, поверхность называется двусторонней. Если же направление нормали после обхода хотя бы одной точки изменится на противоположное, поверхность называется односторонней. Поверхность может быть задана уравнением [latex]F\left ( x,y,z \right ) = 0[/latex], не разрешенным относительно ни одной из переменных (неявное задание). При этом поверхность представляет собой множество всех точек. Например, уравнение [latex]x^{2}+y^{2}+z^{2}-R^{2} = 0[/latex] задает сферу радиуса [latex]R[/latex] с центром в начале координат. Наконец, поверхность может быть задана параметрически: $$x = \varphi \left ( u,v \right ), y = \psi \left ( u,v \right ), z = \chi \left ( u,v \right ), \forall \left ( u,v \right )\in g,$$ где [latex]\psi ,\chi ,\varphi[/latex]− непрерывные функции в области [latex]g[/latex]. Переменные $u$ и $v$ называются параметрами.
На рисунке ниже изображен вектор нормали к поверхности $A$.
188

Определение

Совокупность всех точек поверхности с одинаковым направлением нормали называется стороной поверхности.

Дальше введем понятие ориентации поверхности. Рассмотрим незамкнутую гладкую двустороннюю поверхность [latex]S[/latex], ограниченную контуром [latex]L[/latex], и выберем одну сторону этой поверхности.

Определение

Назовем положительным направление обхода контура [latex]L[/latex], при котором движение по контуру происходит против часовой стрелки относительно наблюдателя, находящегося в конечной точке нормали к какой-либо точке поверхности [latex]S[/latex], соответствующей выбранной стороне поверхности. Обратное направление обхода контура назовем отрицательным.

Определение

Спойлер

Пусть [latex]S[/latex] — ограниченное связное замкнутое множество трехмерного пространства. Пусть для любой точки [latex]M\in S[/latex] существует замкнутый шар [latex]Q[/latex]
с центром в этой точке и существует непрерывное взаимно однозначное отображение [latex]r\left ( u,v \right )[/latex] некоторого замкнутого круга или полукруга [latex]K[/latex] на множество [latex]S \cap Q[/latex], при чем если [latex]\left ( u_{0},v_{0}\right )[/latex] центр крута или полукруга [latex]K[/latex], то [latex]r\left ( u_{0},v_{0} \right )=M[/latex]. Если [latex]K[/latex]- полукруг, и [latex]\left ( u_{0},v_{0}\right )[/latex]- его центр, то точка [latex]r\left ( u_{0},v_{0} \right ) = M\in S[/latex] называется краевой точкой множества [latex]S[/latex].Совокупность всех краевых точек множества [latex]S[/latex] называется его краем и обозначается [latex]\partial S[/latex]. Множество [latex]S[/latex], удовлетворяющее указанным выше условиям, и такое, что его край [latex]\partial S[/latex] не пуст, называется поверхностью с краем.

[свернуть]

Список литературы

Небольшая викторина

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *