М1769. Хорды окружности

Задача из журнала «Квант» (2001 год, 2 выпуск)

Условие

Концы [latex]2n[/latex] пересекающихся хорд разделили окружность на [latex]4n[/latex] равных дуг. Докажите, что среди этих хорд найдутся две параллельные хорды.

Решение

Будем считать, что окружность имеет длину [latex]4n[/latex], а, значит каждая из [latex]4n[/latex] дуг, на которые она разделена концами [latex]2n[/latex] непересекающихся хорд, имеет длину [latex]1.[/latex] Важно заметить следующее. Так как хорды не пересекаются, то концы каждой хорды разделяют окружность на дуги нечетной длины.
Обозначим [latex]4n[/latex] точек деления числами [latex]0, 1, 2, \ldots,4n — 1[/latex] последовательно (см. рисунок). Условимся писать  [latex]a[/latex] [latex]\equiv[/latex] [latex]b,[/latex] если числа [latex]a[/latex] и [latex]b[/latex] дают одинаковые остатки при делении на [latex]4n,[/latex] и говорить, что [latex]a[/latex] и [latex]b[/latex] равны по модулю [latex]4n.[/latex] Теперь отметим, что если [latex]i,[/latex] [latex]j[/latex] и [latex]k,[/latex] [latex]l[/latex] — две пары из чисел на окружности, для которых выполняется равенство [latex]i[/latex] [latex]+[/latex] [latex]j[/latex] [latex]\equiv[/latex] [latex]k[/latex] [latex]+[/latex] [latex]l,[/latex] то хорды [latex]ij[/latex] и [latex]k[/latex][latex]l[/latex] параллельны.

Каждая из [latex]2n[/latex] хорд определена парой своих концов: [latex](i_1, i_2),[/latex]  [latex](i_3, i_4),[/latex][latex] \ldots,[/latex] [latex](i_{4n-1}, i_4n).[/latex] При этом сумма чисел в каждой паре нечетна.

Допустим, что среди [latex]2n[/latex] хорд нет параллельных. Тогда набор чисел [latex]i_1[/latex] [latex]+[/latex] [latex]i_2,[/latex] [latex]i_3[/latex] [latex]+[/latex] [latex]i_4,[/latex][latex] \ldots[/latex] [latex],i_{4n-1}[/latex] [latex]+[/latex] [latex]i_4n[/latex] по модулю [latex]4n[/latex] содержит все нечетные числа от [latex]1[/latex] до [latex]4n — 1.[/latex]

Значит, сумма этого набора равна [latex]4n^2[/latex] (по модулю [latex]4n).[/latex] Непосредственно суммируя числа набора, мы получим [latex]i_1[/latex] [latex]+[/latex] [latex]i_2[/latex] [latex]+[/latex] [latex]i_3[/latex] [latex]+[/latex] [latex]i_4[/latex] [latex]+ \ldots +[/latex] [latex]i_{4n-1}[/latex] [latex]+[/latex] [latex]i_4n[/latex] [latex]=[/latex] [latex]0[/latex] [latex]+[/latex] [latex]1[/latex] [latex]+[/latex] [latex]2[/latex] [latex]+ \ldots +[/latex][latex]4n- 1[/latex] [latex]=[/latex] [latex]2n[/latex] [latex](4n-1).[/latex]

Но тогда должно выполняться равенство [latex]4n^2[/latex] [latex]\equiv[/latex] [latex]2n[/latex] [latex](4n-1).[/latex]) Легко видеть, что такое равенство не выполняется, т.е. остается заключить, что среди хорд есть параллельные.

B.Произволов