Условие
а) Взяли шесть бумажных квадратов, у каждого из которых длина стороны равна $1,$ и ими целиком оклеили поверхность куба с ребром $1.$ Докажите, что найдется бумажный квадрат, который целиком оклеил какую-либо грань куба.
б) Четырьмя бумажными равносторонними треугольниками, у каждого из которых длина стороны равна $1,$ целиком оклеили поверхность правильного тетраэдра с ребром $1.$ Обязательно ли найдется бумажный треугольник, который целиком оклеил какую-либо грань тетраэдра?
Решение
а) Обратим внимание на какую-либо, все равно какую, вершину куба. Так как сумма углов при ней равна $270^{\circ},$ найдется бумажный квадрат (хотя бы один), вершина которого совпала с этой вершиной куба.
Одним словом, у куба восемь вершин, и значит, не меньше восьми вершин у шести оклеивающих его бумажных квадратов совпадают с вершинами куба.
Откуда следует, что найдется бумажный квадрат, у которого по крайней мере две вершины совпадают с вершинами куба. Но тогда ясно, что все четыре вершины этого бумажного квадрата совпадают с четырьмя вершинами какой-либо грани куба, т.е. эта грань целиком оклеена бумажным квадратом. Можно дополнительно сообразить, что противоположная ей грань тоже непременно целиком оклеена каким-либо бумажным квадратом.
б) Вовсе необязательно. На рисунке показана развертка правильного тетраэдра $ABCD$ и такая его оклейка, что никакой из четырех бумажных треугольников не оклеивает целиком какую-либо грань этого тетраэдра.
