1.4 Целые числа. Принцип Архимеда

Одна из аксиом сложения предполагает наличие у каждого числа $ x$ противоположного ему числа $ -x$, т. е. такого, что $ x\;+\;(-x)\;=\;0$.

Определение. Натуральные числа, противоположные им и число $ 0$ будем называть целыми числами. Множество всех целых чисел обозначается через $ \mathbb{Z}$.

Лемма 1. Во всяком непустом ограниченном сверху подмножестве множества целых чисел существует наибольший элемент.

Пусть A – ограниченное сверху подмножество множества целых чисел. Тогда у него существует верхняя грань $ c\;=\;\sup\;A$. Число $ c-1$ не является верхней границей множества A и поэтому найдется такое $ z_0\in A$, что $ c\;-\;1\;<\;z_0\;\leq\;c$. Это число $ z_0$ является наибольшим в A. В самом деле, если найдется $ z’\in A$, такое, что $ z’>z_0$, то $ z’\geq z_0+1$ (во множестве $ \mathbb{Z}$ между $ z_0$ и $ z_0+1$ нет целых чисел). Но $ z_0+1>c$, а значит, и $ z’>c$, что противоречит тому, что c – верхняя граница множества A.

Следствие. Множество $ \mathbb{N}$ всех натуральных чисел неограничено сверху.

В самом деле, если бы $ \mathbb{N}$ было бы ограниченным сверху, то, согласно лемме 1, в нем нашелся бы наибольший элемент $ n_0$. Но $ n_0 + 1 > n_0$ и $ n_0+1\in\mathbb{N}$, что приводит к противоречию.

С помощью кванторов это следствие можно записать так:

$ \forall a\;\in\;\mathbb{R}\;\;\exists n\;\in\;\mathbb{N}\;:\;\;n\;>\;a$

Лемма 2. В каждом непустом ограниченном снизу подмножестве
целых чисел существует наименьший элемент (доказывается аналогично лемме 1).

Теорема (принцип Архимеда). Для любого действительного числа $ x$ и для любого положительного $ h$ существует единственное целое число $ k_0$, такое, что $ ({\mathrm k}_0\;-\;1)\mathrm h\;\leq\;\mathrm x\;<\;{\mathrm k}_0\mathrm h$.

Зададим $ x\in R$ и $ h>0$. Множество целых чисел $ k$, таких, что $ k>\frac xh$, непусто в силу следствия из леммы 1, и это множество ограничено снизу. Поэтому, в силу леммы 2, в этом множестве есть наименьший элемент $ k_0$, и он единственный. Так как $ k_0>\frac xh$, а из неравенства $ k_0-1\leq\frac xh$ следует, что $ (k_0-1)\leq x$.

С геометрической точки зрения принцип Архимеда означает, что каждая точка $ x\in\mathbb{R}$ попадает в один, и только в один из полуинтервалов $ \lbrack(k-1)h,kh\rbrack$.

Определение. Рациональным называется число, которое может быть представлено в виде $ \frac pq$, где $ p$ – целое, $ q$ – натуральное. Множество всех рациональных чисел обозначается через $ \mathbb{Q}$.

Следствие из принципа Архимеда. Пусть $ a$, $ b$ – действительные числа, такие, что $ a < b$. Тогда найдется такое рациональное число $ r$, что $ a < r < b$.

Выберем натуральное $ n>\frac1{b-a}$ (оно существует в силу следствия из леммы 1).Применяя принцип Архимеда с $ h=\frac1n$ найдем такое целое $ k$, что $ \frac{k-1}n\leq a<\frac kn$. Обозначим $ r=\frac{\displaystyle k}{\displaystyle n}\in\mathbb{Q}$. Остается показать, что $ r<b$. Если $ r=\frac{\displaystyle k}{\displaystyle n}\geq b$, то из неравенства $ \frac{\displaystyle k-1}{\displaystyle n}\leq a$ получим, что $ \frac{\displaystyle1}{\displaystyle n}\geq b-a$, т. е. $ n\leq\frac1{b-a}$, что противоречит выбору числа $ n$.

Это следствие называют свойством плотности рациональных чисел.

Примеры решения задач

Пример 1.
Пусть $ \{-x\}$ — множество чисел, противоположных числам $ x\in\{x\}$.Доказать, что
a)$ \inf\{-x\}=-\sup\{x\}$
b)$ \sup\{-x\}=-\inf\{x\}$[2]

Решение

a) Обозначим $ s=sup\{x\}$
тогда $ \forall e\in\{x\}:e\leq s\Rightarrow$(из аксиом умножения и так как $ -1<0$)$ \forall e\in\{x\}:-e\geq-s$, что, в свою очередь и означает что $ \inf\{-x\}=-sup\{x\}$.
b) Поскольку $-(-x)=x$ то множество чисел ${x}$ противоположно ${-x}$ то выполняется следующее: $ \inf\{x\}=-sup\{-x\}$ (из примера а). Домножив обе части на -1 получим нужное равенство.

Пример 2.Докажите что для любых 2х разных действительных чисел $ a,b$ найдется 2 различных, не пересекающихся полуинтервалов, таких что каждое из чисел $ a,b$ принадлежит ровно одному отрезку.

Решение

Не нарушая общности пусть $ a>b$. Тогда по следствию из принципа Архимеда найдется $ a\;>\;r\;\;>\;b$. Теперь найдем такое $c$ что $c<b$. На множестве действительных чисел это можно сделать. Теперь если рассматривать полуинтервалы $ (c;r\rbrack$ и $ (c;r\rbrack$ то можно заметить что $ c<b<r<a\;\Rightarrow\;b\in(c;r\rbrack,\;b\not\in(r;a\rbrack,\;a\not\in(c;r\rbrack,\;a\in(r;a\rbrack$ а это то что и требовалось доказать.

Пример 3.Пусть $\left\{x+y\right\}$ есть множество всех сумм $x+y$, где $x\in\{x\}$ и $y\in\{y\}$.
Доказать равенства:
a) $\inf\{x+y\}\;=\;\inf\{x\}\;+\;\inf\{y\}$;
b) $sup\{x+y\}\;=\;sup\{x\}\;+\;sup\{y\}$;[2]

Решение

a)Предположим что это не так.
Обозначим $a=\;\inf\{x\}\;,\;b=\inf\{y\}$. Тогда $\exists x_0\in\{x\},y_0\in\{y\}:\;x_0+y_0<a+b$, то есть $(x_0-a)+(y_0-b)<0$. Но это невозможно так как $x_0>a\Rightarrow x_0-a>0,\;y_0>b\Rightarrow y_0-b>0$, а сумма двух положительных не может дать отрицательное. Что значит что наше предположение не верно, а верно то что и требовалось доказать.
b)Из примера (а) если заменить $\{x\}$ на $\{-x\}$ и $\{y\}$ на $\{-y\}$ получим $\inf\{-x-y\}\;=\;\inf\{-x\}\;+\;\inf\{-y\}$. Из примера (1а) можно заметить что $-\sup\{x+y\}\;=\;-\sup\{x\}\;-\;\sup\{y\}$. Домножив на $-1$ обе части равенства получим то что и требовалось доказать.

Литература

Тест. Целые числа. Принцип Архимеда.

это тест для того что бы вы узнали что вы выучили и что не выучили с этой лекции

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *