М728. Задача о параллелепипеде

Задача из журнала «Квант». Выпуск №2 1982 года.

М728. Пусть $A$, $B$, $C$ — вершины параллелепипеда, соседние с его вершиной $P$, а $Q$ — вершина, противоположная $P$. Докажите, что:

а) расстояния от точек $A$, $B$, $C$ до прямой $PQ$ могут служить длинами сторон некоторого треугольника;

б) площадь $S$ этого треугольника, объем $V$ параллелепипеда и длина $d$ его диагонали $PQ$ связаны соотношением $V=2dS$.

Решение

Плоскости $PQA, PQB$ и $PQC$ разрезают параллелепипед на 6 долек — тетраэдров. (Один из них — тетраэдр $PQAD$ — выделен на рисунке красным цветом.) Мы доказываем, что объем каждой «дольки» равен $\frac{1}{3}dS$.

Рассмотрим, например, тетраэдр $PQAD$. Его объем не изменится, если сдвинуть вершину $A$ по прямой $AA’$, параллельной диагонали $PQ$. В самом деле, вершины $P, Q$ и $D$ при этом остаются неподвижными, а расстояние от вершины $A$ до плоскости $PQD$ не меняется. Ясно, что и при перемещении точки $D$ вдоль прямой $DD’,$ параллельной $(PQ)$, объем тетраэдра сохранится. Сдвинем теперь вершины $A$ и $D$ в точки $A’$ и $D’$ так, чтобы плоскость $PA’D’$ стала перпендикулярной диагонали $PQ$ (см. рисунок).

а) Поскольку отрезок $A’P$ перпендикулярен к прямой $PQ$, его длина равна расстоянию от точки $A’$ до этой прямой, то есть расстоянию от точки $A$ до $(PQ)$. Точно так же, длина отрезка $D’A’$ равна расстоянию от точки $D$ до прямой $AA’$. При параллельном переносе $\overrightarrow{DB}=\overrightarrow{AP}$ точка $D$ переходит в $B$, а прямая $AA’$ — в $(PQ)$, поэтому $|D’A’|$ — это расстояние от точки $B$ до $(PQ)$. Аналогично доказывается, что $|PD’|$ — это расстояние от точки $C$ до $(PQ)$. Таким образом, длины сторон треугольника $PA’D’$ равны расстояниям от точек $A$, $B$, $C$ до прямой $(PQ)$. По условию его площадь равна $S$.

б) Как мы видели, объем тетраэдра $PQAD$ равен объему тетраэдра $PQA’D’$. Площадь основания $PA’D’$ этого тетраэдра равна $S$, а высота равна длине $d$ ребра $PQ$, так как оно перпендикулярно основанию, Таким образом, $V_{PQAD}=\frac{1}{3}dS$, а объем параллелепипеда $V=6\cdot\frac{1}{3}dS=2dS$.

В. Дубровский

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *