23.5 Потенциальные поля

Непрерывное векторное поле $(P(x,y),Q(x,y))$ называется потенциальным в области $G \subset \mathbb{R^2},$ если существует непрерывно дифференцируемая функция $U(x,y)$, заданная на $G$, такая, что $$\frac{\partial U}{\partial x} (x,y) = P(x,y), \quad\frac{\partial U}{\partial y} (x,y) = Q(x,y).$$ Такая функция $U$ называется потенциалом поля $(P,Q)$. Другими словами, функция $U$ называется потенциалом поля $(P,Q)$, если $$dU(x, y) = P(x, y) dx + Q(x, y) dy.$$

Следующая теорема содержит необходимое и достаточное условие потенциальности поля.

Теорема 1. Для того чтобы непрерывное поле $(P(x, y), Q(x, y))$ было потенциальным в области $G$, необходимо и достаточно, чтобы было выполнено условие $$\int_{\Gamma} P(x, y) dx + Q(x, y) dy = 0\quad\quad(23.3)$$ для любой кусочно гладкой замкнутой кривой $\Gamma \subset G$.

Необходимость. Пусть поле $(P,Q)$ потенциально, т. е. пусть существует такая функция $U(x,y),$ что $$\frac{\partial U}{\partial x} (x,y) = P(x,y),\quad\frac{\partial U}{\partial y} (x,y) = Q(x,y)\quad((x,y) \in G).$$ Далее, пусть $\Gamma : r = r(t) = (x(t),y(t))\quad(\alpha \leqslant t \leqslant \beta)$ — произвольная кусочно гладкая, замкнутая кривая, лежащая в $G.$ Тогда $$\int_{\Gamma} P(x, y) dx + Q(x, y) dy =\int_{\alpha}^{\beta} [P(x(t),y(t))x^\prime(t) +  Q(x(t),y(t))y^\prime(t)] dt =$$ $$= \int_{\alpha}^{\beta} \left [\frac{\partial U}{\partial x}(x(t),y(t))x\prime(t) + \frac{\partial U}{\partial y} (x(t),y(t))y^\prime(t)\right ] dt =$$ $$=\int_{\alpha}^{\beta} \frac{\partial}{\partial t} (x(t),y(t)) dt = U(x(\beta),y(\beta))-U(x(\alpha),y(\alpha)) = 0.$$ Последнее равенство справедливо в силу условия $r(\alpha) = r(\beta),$ т. е. в силу замкнутости кривой $\Gamma.$
    Достаточность. Пусть выполнено условие (23.3). Покажем сначала, что в этом случае криволинейный интеграл $\int_{\gamma}P(x,y) dx + Q(x,y) dy$ зависит лишь от начальной и от конечной точек кривой $\gamma \subset G$ и не зависит от самой кривой $\gamma,$ соединяющей эти точки.
Итак,пусть $\gamma_{1} : r =r_{1}(t)\quad(\alpha \leqslant t \leqslant \beta)$ и $\gamma_{2} :\quad r =r_{2}(\tau)\quad(a \leqslant \tau \leqslant b)$ — две кусочно гладкие кривые, лежащие в $G$ и такие, что $r_{1}(\alpha) = r_{2}(a), r_{1}(\beta) = r_{2}(b).$ Тогда кривая $\Gamma = \gamma_{1} \cup (\gamma_{2})_{-}$ является замкнутой, и поэтому, в силу условия (23.3), $$0 = \int_{\Gamma}P dx + Q dy = \int_{\gamma_{1}}P dx + Q dy + \int_{(\gamma_{2})_{-}}P dx + Q dy = $$ $$= \int_{\gamma_{1}}P dx + Q dy-\int_{\gamma_{2}}P dx + Q dy.$$ Отсюда следует, что $\int_{\gamma_{1}}P dx + Q dy = \int_{\gamma_{2}}P dx + Q dy.$
Зафиксируем теперь точку $(\xi_{0},\eta_{0}) \in G.$ В силу связности $G$, для любой точки $(\xi,\eta) \in G$ найдется кусочно гладкая кривая $\gamma \subset G,$ начало которой в точке $(\xi_{0},\eta_{0}),$ а конец — в точке $(\xi,\eta),$ причем для любой такой кривой интеграл $\int_{\gamma}P dx + Q dy$ зависит лишь от точек $(\xi_{0},\eta_{0})$ и $(\xi,\eta).$ Таким образом, на $G$ определена функция $$U(\xi,\eta) = \int_{\gamma}P(x,y) dx + Q(x,y) dy,$$ где $\gamma \subset G$ — кусочно гладкая кривая, соединяющая точки $(\xi_{0},\eta_{0})$ и $(\xi,\eta).$ Покажем, что функция $U(\xi,\eta)$ будет потенциалом нашего векторного поля, т. е. $$\frac{\partial U}{\partial \xi} (\xi,\eta) = P(\xi,\eta),\quad\frac{\partial U}{\partial \eta} (\xi,\eta) = Q(\xi,\eta).$$ Пусть $(\xi,\eta) \in G$ и $\Delta\xi$ таково, что отрезок $I,$ соединяющий точки $(\xi,\eta)$ и $\xi + \Delta\xi,\eta),$ содержится в $G.$ Соединим точки $(\xi_{0},\eta_{0})$ и $(\xi,\eta)$ кривой $\gamma \subset G.$ Тогда $$\frac{1}{\Delta\xi}[U (\xi + \Delta\xi,\eta) — U(\xi,\eta)$ ] =$$ $$= \frac{1}{\Delta\xi}\left[\int_{\gamma \cup I}P(x,y) dx + Q(x,y) dy-\int_{\gamma}P(x,y) dx + Q(x,y) dy \right] =$$ $$=\frac{1}{\Delta\xi}\int_{I}P(x,y) dx + Q(x,y) dy = \frac{1}{\Delta\xi}\int_{\xi}^{\xi + \Delta\xi}P(x,\eta) dx = P(\xi + \theta\Delta\xi,\eta),$$ где $0 \leqslant \theta \leqslant 1.$ Последнее равенство справедливо в силу непрерывности функции $P(x,y)$ и следует из теоремы о среднем значении для интеграла Римана по отрезку $[\xi,\xi+\Delta\xi].$ При $\Delta\xi \rightarrow 0$ правая часть стремится к $P(\xi,\eta).$ Поэтому существует $$\frac{\partial U}{\partial \xi}(\xi,\eta) = \lim\limits_{\Delta\xi\to 0} \frac{U(\xi+\Delta\xi,\eta)-U(\xi,\eta)}{\Delta\xi} = P(\xi,\eta).$$ Аналогично доказываем, что $$\frac{\partial U}{\partial \eta}(\xi,\eta) = Q(\xi,\eta).$$ Наконец, поскольку функции $P(\xi,\eta)$ и $Q(\xi,\eta)$ непрерывны в $G$, то функция $U(\xi,\eta)$ непрерывно дифференцируема в $G.$

Замечание 1. В условии теоремы 1 не требуется, чтобы кривая $$ была контуром, т. е. эта кривая не обязана быть простой.

Замечание 2. При доказательстве достаточности было показано, что из равенства нулю криволинейного интеграла $II$ рода вдоль любой замкнутой кривой следует, что интеграл не зависит от кривой, а только лишь от начальной и конечной ее точек. Обратное утверждение, очевидно, также имеет место, т. е. если интеграл не зависит от кривой, соединяющей начальную и конечную точки, то по замкнутой кривой он равен нулю.

Замечание 3. При доказательстве достаточности была построена такая функция $U$, что $dU = P dx + Q dy$, где заданные функции $P(x,y)$ и $Q(x,y)$ удовлетворяют условию (23.3). Ясно, что задача нахождения этой функции $U$ является двухмерным аналогом задачи нахождения первообразной в одномерном случае. Напомним, что в одномерном случае было показано, что для любой непрерывной функции $f$ ее первообразная $F$ может быть записана в виде интеграла с переменным верхним пределом $$F(x) = \int_{a}^xf(t)dt.$$ Полученная нами формула $$U(\xi,\eta) = \int_{\gamma}P(x,y) dx + Q(x,y)dy \quad(\gamma : (\xi_{0},\eta_{0}) \rightarrow (\xi,\eta))$$ является аналогом указанной выше формулы из одномерного случая для случая функции двух переменных. Следует, однако, отметить, что в пространстве $\mathbb{R^2}$ уже не для каждой пары непрерывных функций $P$ и $Q$ найдется соответствующая функция $U$. Пример таких функций $P$ и $Q$ приведем ниже. Мы доказали, что функция $U$ существует, если функции $(P,Q)$ удовлетворяют условию (23.3).

Замечание 4. Можно показать, что условие (23.3) эквивалентно условию равенства нулю интеграла по любому кусочно гладкому контуру, т. е. можно рассматривать лишь простые кривые.

Замечание 5. Теорема 1 не дает практических рекомендаций для выяснения вопроса о потенциальности поля $(P,Q),$ так как на практике условие (23.3) проверяется трудно.

Следующая теорема в частном случае содержит условие, легко проверяемое с практической точки зрения.

Теорема 2. Пусть поле $(P(x,y),Q(x,y))$ непрерывно дифференцируемо в области $G \subset \mathbb{R^2}.$ Для того чтобы оно было потенциальным, необходимо, а если область $G$ односвязна, то и достаточно, чтобы было выполнено равенство $$\frac{\partial Q}{\partial x}(x,y) = \frac{\partial P}{\partial y}(x,y)\quad ((x,y) \in G) \quad (23.4)  $$

Необходимость. Пусть поле $(P,Q)$ потенциальное, т. е. пусть существует такая функция $U$, что $$P(x,y) = \frac{\partial U}{\partial x}(x,y),\quad Q(x,y) = {\partial U}{\partial y}(x,y)\quad((x,y) \in G).$$ Поскольку функции $P$ и $Q$ непрерывно дифференцируемы и $$\frac{\partial P}{\partial y}(x,y) = \frac{\partial^2 U}{\partial x\partial y}(x,y),\quad\frac{\partial Q}{\partial x}(x,y) = \frac{\partial^2 U}{\partial y\partial x}(x,y),$$ то, в силу равенства смешанных производных функции $U$, которое следует из теоремы Шварца, получаем, что справедиво равенство (23.4).
    Достаточность. Пусть область $G$ односвязна. Возьмем произвольный кусочно гладкий контур $\Gamma \subset G$ и обозначим через $\Omega$ область, ограниченную этим контуром. Тогда, по формуле Грина, получим $$\int_{\Gamma}P dx + Q dy = \int\int_{\Omega}\left(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}\right) dxdy.$$ Отсюда, в силу условия (23.4), следует, что по произвольному кусочно гладкому контуру $\Gamma \subset G$ справедливо равенство $$\int_{\Gamma}P dx + Q dy = 0.$$ С учетом замечания 4, из этого равенства следует, что поле $(P,Q)$ является потенциальным.

В заключение рассмотрим пример, показывающий, что условие односвязности в теореме 2 нельзя отбросить. Этот же пример показывает, что не для любых непрерывных (и даже непрерывно дифференцируемых) функций $P$ и $Q$ существует такая функция $U,$ что $dU=Pdx+Qdy.$

Пример. Пусть $\small P(x,y)=-\frac{y}{x^2+y^2},\,Q(x,y)=\frac{x}{x^2+y^2}\,\,((x,y)\neq(0,0)).\normalsize$ Функция $P$ и $Q$ удовлетворяют условию (23.4) в области$G\equiv\mathbb{R^2}\backslash{(0,0)},$ так как $$\frac{\partial P}{\partial y}=\frac{\partial Q}{\partial x}=\frac{y^2-x^2}{(x^2+y^2)^2}.$$ Вместе с тем поле $(P,Q)$ не является потенциальным, так как в противном случае было бы выполнено условие (23.3). Мы же покажем, что $\int_\Gamma Pdx+Qdy\neq 0,$ где $\Gamma$ – окружность $x=\cos t,\,y=\sin t\,(0\leqslant t \leqslant 2\pi).$ Имеем $$\int_{\Gamma} P dx + Q dy = \int_{0}^{2\pi}[(-\sin t)(-\sin t)+\cos t\cos t]dt = 2\pi \neq 0.$$
Таким образом, в неодносвязной области $G$ наше поле не является потенциальным. Вместе с тем так как условие (23.4) выполнено, то, в силу теоремы 2, наше поле потенциально в любой односвязной области $G$, не содержащей начала координат.

Пример 1. Проверить, является ли векторное поле $\vec{F} = X\vec{i} + Y\vec{j} + Z\vec{k}$ потенциальным. В случае потенциальности поля  найти его потенциал.
$\vec{F} = (9x + 5yz)\vec{i} + (9y + 5xz)\vec{j} + (9z + 5xy)\vec{k}$
Решение. Для потенциальности поля необходимо и достаточно, чтобы $rot\vec{F} = 0.$

$rot\vec{F} = (\frac{\partial R}{\partial y}-\frac{\partial Q}{\partial z})\vec{i} + (\frac{\partial P}{\partial z}-\frac{\partial R}{\partial x})\vec{j} + (\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial k})\vec{k} = $ $= (5x-5x)\vec{i} + (5y-5y)\vec{j} + (5z-5z)\vec{k} = 0$

Значит, поле является потенциальным.
Вычисляем потенциальность с помощью этой формулы:

$U = \int_{x_{0}}^{x}P dx + \int_{y_{0}}^{y}Q dy + \int_{z_{0}}^{z}R dz + C$

В качестве точки $(x_{0},y_{0},z_{0})$ возьмем точку $(0,0,0)$
$U = \int_{0}^{x}(9x+5yz)|_{y=0\\z=0} dx + \int_{0}^{y}(9y+5xz)|_{x=0}dy + \int_{0}^{z}(9z+5xy)dz + C = $ $=\frac{9}{2}x^2 + \frac{9}{2}y^2 + \frac{9}{2}z^2 + 5xyz +C$

Пример 2. Показать, что поле $\vec{a}=(y+\cos z)\vec{i} + x\vec{j}-x\sin z\vec{k}$ потенциально во всем пространстве и найти его потенциал.
Решение. Вычислим $\overline{rot}\vec{a}$

$rot\vec{a}=\begin{vmatrix} \vec{i}& \vec{j}& \vec{k} \\ \frac{\partial }{\partial x}& \frac{\partial}{\partial y}& \frac{\partial}{\partial z} \\ {y+\cos z}& x& {-x\sin z}\end{vmatrix}=\vec{i}(0-0)-\vec{j}(-\sin z + \sin z)+$ $$+(1-1)\vec{k}=\vec{0}$$ т.е. поле $\vec{a}$ потенциально . Вычисляем потенциальность с помощью этой формулы: $$U(x,y,z)=\int_{x_{0}}^{x}a_{x}(x,y_{0},z_{0}) dx+ \int_{y_{0}}^{y}a_{y}(x,y,z_{0}) dy+$$ $$+\int_{z_{0}}^{z}a_{z}(x,y,z) dz+C,$$  а в качестве точки $(x_{0},y_{0},z_{0})$ возьмем точку(0,0,0). $$U(x,y,z)=\int_{0}^x(0+\cos 0) dx + \int_{0}^y x dy-\int_{0}^z x\sin z dz =$$ $$=\int_{0}^x dx + x\int_{0}^y dy-x\int_{0}^z \sin z dz + C =$$ $$= x|_0^x + xy|_0^y+x\cos z|_0^z+C =$$ $$= x + xy + x\cos z-x\cos 0 + C =$$ $$= x + xy + x\cos z-x + C =$$ $$=xy+x\cos z + C.$$

Пример3.Показать,что векторное поле $\vec{F}$ является потенциальным.

$\vec{F}(x,y,z)=(3x+yz)\vec{i}+(3y+xz)\vec{j}+(3z+xy)\vec{k}$

Решение.Найдём роторную функцию:

$rot\vec{F}=\left ( \frac{\partial R}{\partial y}-\frac{\partial Q}{\partial z} \right)\vec{i}+\left ( \frac{\partial P}{\partial z}-\frac{\partial R}{\partial x} \right)\vec{j}+\left ( \frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y} \right)\vec{k}$

Выпишем компоненты поля:$P=3x+yz,\quad Q=3y+xz,\quad R=3z+xy$ и найдьом их частные производние :

$\frac{\partial R}{\partial y}=(3z+xy)_{y}^{\prime}=x\,\frac{\partial Q}{\partial z}(3y+xy)_{z}^{\prime}=x, \frac{\partial R}{\partial y}-\frac{\partial Q}{\partial z}=x-x=0$

$\frac{\partial P}{\partial z}=(3x+yz)_{z}^{\prime}=y \, \frac{\partial R}{\partial x}=(3z+xy)_{x}^{\prime}=y\, \frac{\partial P}{\partial z}-\frac{\partial R}{\partial x}=y-y=0$

$\frac{\partial Q}{\partial x}=(3y+xz)_{x}^{\prime}=z\,\frac{\partial P}{\partial y}=(3x+yz)_{y}^{\prime}=z\,\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}=(z-z)=0$

Получаем $rot\vec{F}=(x-x)\vec{i}+(y-y)\vec{j}+(z-z)\vec{k}=0,$ следовательно, поле $\vec{F}(x,y,z)=(3x+yz)\vec{i}+(3y+xz)\vec{j}+(3z+xy)\vec{k}$ потенциально.

Литература:

Потенциальные поля

Пройдите этот тест, чтобы проверить свои знания по только что прочитанной теме


Таблица лучших: Потенциальные поля

максимум из 14 баллов
Место Имя Записано Баллы Результат
Таблица загружается
Нет данных

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *