М669. Четырехугольник вписанный в окружность

Задача из журнала «Квант» (1981 год, 10 выпуск)

Условие

Четырехугольник $ABCD$ вписан в окружность. Докажите что:
а) отрезок, соединяющий, середины дуг $AB$ и $CD$, перпендикулярен отрезку, соединяющему середины дуг $BC$ и $AD$;
б) центры окружностей, вписанных в треугольники $ABC$, $BCD$, $CDA$, и $DAB$, являются вершинами прямоугольника.

Решение

а) Поскольку $\widehat{NMP} = \frac{1}{4} (\breve{B}C + \breve{C}D) = \frac{1}{2}\widehat{A}$, $\widehat{MNQ} = \frac{1}{4} (\breve{A}B + \breve{A}D) = \frac{1}{2}\widehat{C}$ (рис. 1), $\widehat{NMP} + \widehat{MNQ} = \frac{1}{2}(\widehat{A} + \widehat{C}) = 90^{\circ}$ , откуда следует утверждение а).
б) Очевидно, $O_{1} = \left | AN \right | \cap \left | CM \right |, O_{2} = \left | BP \right | \cap \left | DN \right |, O_{3} = \left | AP \right | \cap \left | CQ \right |, O_{4} = \left | BQ \right | \cap \left | DM \right |$ — центры окружностей, вписанных соответственно в треугольники $ABC$, $BCD$, $CDA$ и $DAB$ (рис. 2).

Треугольники $BMN$ и $MO_{1}N$ конгруэнтны, так что $\left | BN \right | = \left | NO_{1} \right |$. Аналогично, $\left | CN \right | = \left | NO_{2} \right |$. Но $\left | BN \right | = \left | CN \right |$; следовательно, треугольник $O_{1}NO_{2}$ — равнобедренный, в котором $\left | NQ \right |$ является биссектрисой. Поэтому $\left | NQ \right | \perp \left | O_{1}O_{2} \right |$; значит, $\left | O_{1}O_{2} \right | \left | \right | \left | MP \right |$.

Аналогично доказывается, что $\left | O_{3}O_{4} \right | \left | \right | \left | MP \right |$ и $\left | O_{1}O_{4} \right | \left | \right | \left | NQ \right | \left | \right | \left | O_{2}O_{3} \right |$. Таким образом, четырехугольник $O_{1}O_{2}O_{3}O_{4}$ — прямоугольник.

И.Герман
К.Малхасян