Теорема. Пусть функции $f$ и $g$ определены на интервале $(a,b)$ и дифференцируемы в точке $x_0$. Тогда
- функция $f + g$ дифференцируема в точке $x_0$ и $$(f + g)’(x_0) = f’(x_0) + g’(x_0);$$
- функция $f \cdot g$ дифференцируема в точке $x_0$ и $$(f \cdot g)’(x_0) = f’(x_0)g(x_0) + f (x_0)g’(x_0);$$
- если $g(x) \neq 0 (x \in (a,b))$, то функция $\dfrac{f}{g}$ дифференцируема в точке $x_0$ и $$(\dfrac{f}{g})’ = \dfrac{f’(x_0)g(x_0) — f (x_0)g’(x_0)}{g^2(x_0)}.$$
Утверждение $a)$ очевидно. Докажем $b)$. Имеем $$\dfrac{(f \cdot g)(x) — (f \cdot g)(x_0)}{x-x_0} = \dfrac{f(x)g(x) — f(x_0)g(x_0)}{x-x_0} =$$ $$= \dfrac{f(x)g(x) — f(x_0)g(x) + f(x_0)g(x) + f(x_0)g(x_0)}{x-x_0} =$$ $$ = \dfrac{f(x) — f(x_0)}{x-x_0}\cdot g(x) + f(x_0)\dfrac{g(x) — g(x_0)}{x-x_0}.$$ Используя непрерывность функции $g$ в точке $x_0$, которая следует из дифференцируемости, переходя к пределу при $x \to x_0$, получаем $b)$.
Для доказательства $c)$ рассмотрим сначала случай $f(x) \equiv 1$. Тогда $$\dfrac{\dfrac{1}{g(x)} — \dfrac{1}{g(x_0)}}{x — x_0} = — \dfrac {g(x)-g(x_0)}{x-x_0} \cdot \dfrac1{g(x)g(x_0)} \to -\dfrac{g’(x_0)}{g^2(x_0)} (x \to x_0).$$
Замечание. Непосредственно из определения производной следует, что $(c \cdot f)’(x_0) = c\cdot f’(x_0)$, где $c$ – постоянная. Поэтому, используя часть $a)$ доказанной теоремы, получаем, что операция дифференцирования является линейной операцией, т. е. производная линейной комбинации двух дифференцируемых функций равна линейной комбинации их производных – $$(\alpha\cdot f + \beta\cdot g)’(x_0) = \alpha\cdot f’(x_0) + \beta\cdot g’(x_0),$$ где $\alpha$ и $\beta$ – постоянные.
Примеры решения задач
- Найти производную функции $ f(x) = 3x^2 + 7x + 3$ в точке $x_0 = 3$.
Решение
Пользуясь вышеописанными формулами и таблицей производных получаем: $$f’(x) = (3x^2 + 7x + 3)’ = (3x^2)’ + (7x)’ + (3)’ = 6x + 7 + 0 = 6x + 7.$$ Тогда: $$f’(x_0) = 25$$
- Найти производную функции $f(x) = e^x\cos x$
Решение
Вновь воспользуемся вышеописанными формулами и таблицей производных, вследствие чего получим результат: $$f’(x) = (e^x\cos x)’ = (e^x)’\cdot\cos x + e^x\cdot(\cos x)’ = e^x\cos x — e^x\sin x$$
- Найти производную функции $f(x) = \dfrac {\arccos x}{\sqrt x}$.
Решение
$$f’(x) = (\dfrac {\arccos x}{\sqrt x})’ = \dfrac{(\arccos x)’\cdot\sqrt x — (\sqrt x)’\cdot\arccos x}{(\sqrt x)^2} =$$ $$= \dfrac{-\dfrac{\sqrt x}{\sqrt{1 — x^2}} — \dfrac{\arccos x}{2\sqrt x}}{x}$$
Литература
- Коляда В.И., Кореновский А. А. Курс лекций по математическому анализу.- Одесса : Астропринт , 2009. с. 111-112.
- Кудрявцев Л. Д. Курс математического анализа : учебник для вузов: В 3 т. Т. 1. Дифференциальное и интегральное исчисления функций одной переменной / Л. Д. Кудрявцев. 5-е изд., перераб. и доп. — Москва: Дрофа, 2003. — 703 с. — с.288-291.
- Фихтенгольц Г. М. Курс дифференциального и интегрального исчисления: учеб. пособие для ун-тов и пед. ин-тов. Т. 1 / Г. М. Фихтенгольц. — 5-е изд., стереотип. — Москва: Физматгиз, 1962. — 607 с. — С. 199-202.
- Б.П.Демидович. Сборник задач и упражнений по математическому анализу, 13-ое издание, Московского университета, 1997, с. 96-97
Дифференцируемость и арифметические операции
Тест для проверки собственных знаний по данной теме.